2. Soit une fonction quelconque de ; si l’on forme la suite infinie
on peut toujours concevoir une fonction de qui, développée suivant les puissances de donne cette suite : cette fonction est ce que je nomme fonction génératrice de
La fonction génératrice d’une variable quelconque est donc généralement une fonction de qui, développée suivant les puissances de a cette variable pour coefficient de et réciproquement, la variable correspondante d’une fonction génératrice est le coefficient de dans le développement de cette fonction suivant les puissances de en sorte que l’exposant de la puissance de indique le rang que la variable occupe dans la série, que l’on peut concevoir prolongée indéfiniment à gauche, relativement aux puissances négatives de
Il suit de ces définitions que, étant la fonction génératrice de celle de est car il est visible que le coefficient de dans est égal à celui de dans par conséquent il est égal à
Le coefficient de dans est donc égal à ou à la différence des deux quantités consécutives et différence que nous désignerons par étant la caractéristique des différences finies. On a donc la fonction génératrice de la différence finie d’une quantité variable, en multipliant par la fonction génératrice de
