quantités dans leurs caractéristiques, autant d’équations identiques entre ces caractéristiques, pourvu que dans le développement de ces équations on place les puissances et les produits de puissances de ces caractéristiques devant la fonction de l’indice.
Si ce développement donne aux caractéristiques des exposants négatifs, elles indiqueront alors des intégrales finies. En effet, le produit de A par la puissance n de B étant la fonction génératrice des différences nièmes des coefficients de A, ces coefficients sont les intégrales nièmes des coefficients de la fonction génératrice que forme ce produit ; d’où il suit qu’une fonction génératrice, multipliée par B élevé à la puissance n prise en moins, est la fonction génératrice des intégrales nièmes des coefficients de cette fonction. Les puissances négatives de δ, placées devant ces coefficients, indiquent par conséquent des intégrales, ce qui donne la raison de l’analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.
Il est facile de voir que C est égal à la puissance i du binôme un plus B, en retranchant l’unité, de cette puissance. Si l’on élève à la puissance à les deux membres de cette égalité, elle subsistera toujours, quels que soient n et son signe ; en changeant B et C dans leurs caractéristiques δ et Δ, et en observant que les caractéristiques négatives expriment des intégrales, on aura par le développement du second membre les différences et les intégrales dans lesquelles l’indice varie d’une quantité quelconque i, par une suite de différences et d’intégrales dans lesquelles l’indice varie de l’unité. Si l’on suppose i infiniment petit, les résultats subsisteront toujours et se simplifieront en rejetant les infiniment petits d’un ordre supérieur à celui que l’on conserve. Ces passages du fini à l’infiniment petit ont l’avantage d’éclairer les points délicats de l’Analyse infinitésimale qui ont été l’objet de grandes discussions parmi les géomètres. C’est ainsi que j’ai démontré la possibilité d’introduire des fonctions discontinues dans les intégrales des équations aux différentielles partielles, pourvu que la discontinuité n’ait lieu que pour les différentielles des fonctions, de l’ordre de ces
