multipliant sont indiqués. Il importe surtout d’avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu’elle finirait par atteindre, si le nombre des événements devenait infini. Pour y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles, multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient, par l’intégration, des formules composées d’un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l’idée de transformer dans de semblables intégrales les expressions compliquées de l’Analyse et les intégrales des équations aux différences. J’ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral et les limites de l’intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir, que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées, ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices, dont elle est ainsi le complément. Il ne s’agissait plus ensuite que de réduire l’intégrale définie en série convergente. C’est ce que j’ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d’autant plus de rapidité que la formule qu’elle représente est plus compliquée, en sorte qu’il est d’autant plus exact qu’il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre ; quelquefois elle dépend d’autres transcendantes, dont le nombre est infini.
Une remarque importante, qui tient à la grande généralité de l’Analyse et qui permet d’étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l’équation qui détermine ces limites n’a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire, dont j’ai le premier fait usage, m’ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j’ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à l’induction et à l’ana-
