Les combinaisons que les jeux présentent ont été l’objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l’infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d’entre elles se prêtent avec facilité au calcul ; d’autres exigent des calculs plus difficiles, et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d’analyse. On a vu précédemment que l’on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons les bénéfices d’une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis. n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortants à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages, l’expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros dépend de la différence finie nème de la puissance i d’un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à , devient impossible, moins qu’on ne convertisse cette différence dans une série très convergente. C’est ce que l’on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que, la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage, il y a du désavantage à parier un contre un que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l’avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.
Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu’à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est
