Page:Larousse - Grand dictionnaire universel du XIXe siècle - Tome 1, part. 3, As-At.djvu/166

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2° Les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers.

30 Les carrés des temps des révolutions des diverses planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.

11 est inutile de dire que-ces trois lois s’appliquent auji satellites comme aux planètes.

il faut remarquer quelles deux premières lois de Kepler déterminent la course de chaque planète, considérée séparément, d’après le petit nombre de constantes nécessaires pour ; la caractériser ; mais toutes ces constantes paraissant avoir ’des valeurs essentiellement arbitraires, les mouvements des diverses planètes restaient encore complètement isolés les uns dés autres ; il n’y avait entre eux jusque-là aucun lien, aucune proportion. En révélant ce lien, cette proportion, la troisième loi de Kepler faisait véritablement, de toutes les révolutions des astres, un systèméunique qui semblait appeler tout naturellement l’idée d’une force unique. ’ ' ’ '

Lois des forces centrales, ou lois de Ruyghens. Les forces centrales (force centrifuge et force centripète), dans le mouvement circulaire, sont : 1» proportionnelles au carré de la vitesse ; -2° proportionnelles à la masse du mobile ;. 3° en raison inverse du rayon du cercle décrit. Ces lois sont contenues dans la formule F = m v% : R, où F désigne la force centrale, m la masse du mobile, u1 le carré de la vitesse, et R le rayon du cercle décrit.

La formule F = m »’

devenir F ’= ;

uF = m-peut,

. traduispns.

ainsi’ : les forces centrales sont entre elles comme les rayons des circonférences divisés par les carrés des temps des révolutions. En effet, soit T le temps employé par le mobile h parcourir la circonférence entière, d’un mouvement uniforme. D’après les lois du mouve- ■ ment uniforme, la circonférence parcourue

2irR=«T ;1d’oùu=^ ? ; d’oùu’ = -^^. Portant la valeur de. v* dans la formule F = m — >

4^R

nous avons {{{1}}}

—, Lois de la chute des corps, ou lois de Galilée. Ces.lois s’énoncent de la manière suivante. : 10 la vitesse de la chute d’un corps est indépendante de sa masse ; 20 la vitesse de la chute d’un corps ne dépend pas de la nature de ce corps ; 3» la vitesse acquise par un corps qui tombe librement, en partant de l’état de repos, est proportionnelle au temps ;

  • o les espaces parcourus sont proportionnels

aux carres des temps employés a les parcourir. Il résulté des lois de la chute des corps que (a pesanteur est une force accélératrice constanté, et que la forme de la trajectoire des’prbjectilés, abstractibn faite de là résisf tancé de l’air,1 est une parabolédont l’axe est" vertical.’

— Voyons maintenant comment les lois astronomiques de Kepler, les lois mécaniques de Huyghens et les lois physiques de Galilée ont conduit à l’attraction universelle. D’abord, la connaissance des forces centrales et du mouvement parabolique des projectiles nous montre, dans, tout mouvement curviligne, un mouvement composé. Une seule force ne peut faire décrire qu’une ligne droite ; il faut une « ou plusieurs autres forces pour retirer sans cesse le corps de cette ligne droite et le faire marcher dans une.courbe, qui n’est, suivant l’expression de Bailly, qu’une route composée de routes/continuellement changées. Par conséquent, le mouvement curviligne d’un astre peut, comme celui d’un projectile, être étudié sous deux points de vue : géométriquement, en déterminant, d’après les observations directes, la forme de la trajectoire et la loi suivant laquelle varie la vitesse ; mécaniquement, en cherchant la loi du mouvement qui empêche continuellement le corps circulant de poursuivre sa route naturelle en ligne droite, et qui, combiné à chaque instant avec sa, viT tesse actuelle, lui fait décrire sa trajectoire effective. De plus, la solution d’un de ces deux problèmes étant donnée, on doit pouvoir résoudre l’autre ; et, comme il est possible de. composer, de construire géométriquement un mouvement curviligne dont on connaît les facteurs mécaniques, il doit être également possible de faire l’analyse mécanique d’un tel mouvement, lorsque l’observation en a donné la forme géométrique. Galilée avait déterminé la trajectoire d’un projectile en partant des mouvements élémentaires donnés par les lois ie la chute des corps ; il s’agissait de résoudre le problème inverse, c’est-à-dire de déterminer les mouvements élémentaires d’un astre en partant de la trajectoire donnée par les lois de Kepler, ■ Si la loi fondamentale de la chuté des corps, dit très-bien Auguste Comte, n’eût pas été découverte d’après une étude directe, la dynamique abstraite eût pu incontestablement la déduire d’une manière tout

aussi, sûre, quoique moins facile, de l’observation des divers phénomènes que présentent les mouvements- curvilignes produits par la. pesanteur. Ce qui serait simplement facultatif ’ a l’égard du projectile devient forcé à l’égard de l’astre : telle, est, au fond, la seule différence réelle entre les deux cas. ».

La’ première question qui se présentait était celle-ci 1 quelle est la direction de la force qui doit agir sans interruption sur l’astre pour

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le détourner de la route tangentielle ? Des considérations mathématiques très - élémentaires établissent que la direction de cette force vers le centre du soleil est une suite nécessaire de la première loi de Kepler, c’est-à-dire de la proportionnalité des aires décrites par les rayons vecteurs aux temps employés à les décrire.

Soient S le centre du soleil, et A celui d’une planète à un moment déterminé ; pendant un temps infiniment petit, ’cette planète décrira Turc AB de-sa trajectoire, arc infiniment petit, et comme tel assimilable à une ligné droite ; si aucune cause n’agissait sur elle, elle parcourrait, dans le temps intlniment petit suivant, et égal au premier, la ligne BC égale à AB et située sur son prolongement ; niais soumise, à une force qui agit-à- chaque instant surelle ; elle décrit BD. Pour avoir la direction de cette force, remarquons que, d’après la première loi de-Kepler, les aires des trois triangles ABS, BDS, CBS doivent être égales. Les deux’ triangles SBD, SBC, étant équivalents, doiventavoir leurs sommetssur une ligne DC parallèle à EB, et si nous achevons le parallélogramme EBCD, nous voyons, que pour

Earcourir la ligne BD, diagonale de ce paralilogramme, la planète a du être soumise à sa vitesse initiale, qui seule l’aurait transportée, de B en C, et à une force qui seule lui aurait fait franchir la ligne BE ; cette force est donc dirigée vers le point S. Il est, par conséquent, démontré que les planètes, décrivant autour du soleil des aires proportionnelles aux temps, sont soumises à une force dirigée vers le centre du soleil.’Cette force, qui agit sur les pjanètes comme pour les attirer vers le soleil, nous pouvons la nommer attraction solaire, sans vouloir exprimer par là sa nature, mais seulement indiquer ses effets.

Nous connaissons la direction de la force qui retient les planètes dans leurs orbites ; nous la concevons exercée par le soleil ; il nous reste a déterminer l’intensité de son action. Pour cela, supposons les planètes mues dans des orbes "circulaires, ce qui s’éloigne peu’ de la vérité. L’action solaire, dès lors égale et contraire à la force centrifuge de la planète, devient ainsi nécessairement constante aux divers points de l’orbite, et ne saurait varier qu’en passant d’une planète à une autre. Les théorèmes de Huyghens sur les forces centrales dans le mouvement circulaire, d’une part, et la troisième loi.de Kepler, de l’autre, conduisent immédiatement à saisir la loi de cette variation. En effet, d’après les lois des forces centrales, si nous désignons par F et F’ les forces attractives exercées par le soleil sur deux planètes, par R et R’ les distances de ces deux planètes au soleil, et par T et Tr les temps pendant lesquels ces planètes parcourent leurs orbites, nous tirons déla

formule F=

— la proportion

F :F’ ::RT’lR’T3

La troisième loi de Kepler nous donne la proportion T’ :T" ::R* : R’1. En divisant la première par la seconde, terme à terme, nous

e par la seconi

F F’ T’3

ls donne

— Tî-fn"R

—71 "° ™ i c’est-à-dire la proportion

F. :F’ ::R" :R«.

Les tendances des planètes vers le soleil, ou les forces attractives du soleil sur les planètes, sont donc en raison inverse des carrés des rayons de leurs orbes supposés circulaires. Cette hypothèse, il est vrai, n’est pas rigoureuse ; mais le rapport constant des carrés des temps des révolutions des planètes" étant indépendant des excentricités, il est naturel de penser qu’il subsisterait encore, dans le cas où ces orbes seraient circulaires. Ainsi, la loi de l’attraction solaire réciproque au carré des distances est clairement indiquée par ce rap L’analogie porte naturellement à penser que cette loi, qui s’étend d’une planète a l’autre, a également lieu pour, la même planète dans ses diverses distances au soleil ; mais il fallait montrer d’une manière rigoureuse comment elle s’accorde avec l’elliptieité des orbites. A la vérité, l’orbite elliptique présente deux points remarquables, l’aphélie et le périhélie, où la courbure est évidemment la même, où, d’ailleurs, la force centrifuge est encore directement opposée et, par conséquent, égale à l’action du soleil, ou la variation de cette action est en nfême temps très-prononcée. Ici encore, cette action se trouvait mesurée, d’après les théorèmes de Huyghens, par le carré

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de la vitesse correspondante. Les secteurs décrits pendant le même élément du temps étant égaux, d’après la première loi de Kepler, les vitesses périhélie et aphélie sont en raison inverse des distances correspondantes de la planète au soleil. Les carrés de ces vitesses, qui mesurent la force centrifuge et par là même l’action solaire, sont donc en raison inverse des carrés des mêmes distances. Ainsi, ’ la loi indiquée par un premier rapprochement entre les diverses planètes se confirme par là comparaison des deux positions principales de chacune d’elles. Mais.tout cela était encore évidemment insuffisant) puisque le mouvement elliptique n’était nullement pris en considération. Pour rendre la démonstration décisive, pour la mettre à l’abri de toute contestation, il fallait mesurer l’action solaire, non-seulement à’ l’aphélie et au périhélie, mais dans toute l’étendue de l’orbito. Cette action, avait besoin, dès lors, d’être décomposée en un point quelconque, suivant la normale corres Eondante, avant de pouvoir être appréciée par. 1 force centrifuge qui ne lui était plus direcment opposée. De là des. difficultés mathématiques qui ne pouvaient être surmontées que par la création d’un instrument nouveau, du culcui différentiel.. •

À l’aide de ce calcul, Newton montra qu’une force qui, dirigée vers le foyer d’une ellipse fait décrire cette courbe à un projectile, est réciproque -au carré du rayon vecteur, tl fit voir, en outre, que pour chaque planète ramenée à l’unité de distance, la valeur propre de l’attraction solaire est proportionnelle aurapport entre le carré du temps périoclique-et, le cubédu grand axe de l’ellipse ; cèqui’prouvé exactement, d’après la troisième loi de Kepler, l’identité de cette valeur à l’égard de toutes les planètes sur lesquelles l’action du soleil ne change qu’à raison de la seule distance, quelque grandes que soient les différences de leurs dimensions. El

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et abandonnées à la force qui les attire vers son centre, elles descendraient de la même hauteur en temps égal, de la même manière que. dans le vide, tous les corps terrestres, tombent avec la même vitesse, quelle que soit leur masse et quelle que soit leur nature. De là cette importante conséquence, déduité par Newton, que l’action solaire est proportionnelle, à distance égalé, à la masse de la planète, conséquence qui rappelle la proportionnalité établie entre les poids des corps terrestres et leurs masses, d après la vitesse égale de leur chute dans le vide, ou l’exacte coïncidence de leurs oscillations.

Ainsi, nous voilà conduits, par une suite nécessaire.de ;

! lois des mouvements célestes, à

regarder le centre du soleil comme le foyer d’une force qui s’étend indéfiniment dans les ;pace, en diminuant en raison du carré desdistances, et qui attire semblablement tous les corps. « Chacune des lois de Kepler, dit Laçlace, nous découvre une propriété décette

tamment dirigée vers le centre du soleil ; la figure.elliptique des orbes planétaires nous prouve que cette force diminue comme le carré de la distance augmente ; enfin, la loi des carrés des temps des révolutions, proportionnels aux cubes des grands axes des orbites, nous apprend que cette force est la même, à distances égales, quels que soient les corps sur lesquels elle s’exerce. » Il est inutile de dire que, les lois de Kepler régissant les mouvements des satellites autour de leurs planertes comme les mouvements des planètes autour du soleil, il en résulte nécessairement que l’action exercée par chaque planète sur chacun de ses satellites est soumise aux mêmes lois que l’attraction solaire, ., .

Afin de compléter, cette démonstration, Newton reprit, en sens inverse, l’ensemble de la question, en supposant donnée la loi de l’attraction en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances, et en déterminant, par le calcul, les mouvements planétaires qui résulteraient d’une telle loi. En partant des lots de Kepler, il s’était élevé à la loi de l’attraction ; en partant de la loi de l’attraction, il retomba sur les lois de Kepler. Cette analyse inverse lui fit en même temps reconnaître que non-seulement l’ellipse, mais toute section conique peut être décrite en vertu de la force qui retient les planètes dans leurs orbes. La nature de la courbe dépend uniquement de l’intensité de lavitesse initiale, en sorte qu’un certain accroissement déterminé, qui surviendrait tout k coup dans la vitesse d’une planète, pourrait changer son ellipse en une parabole et même en une hyperbole. « Ainsi, dit Laplace, une comète peut se. mouvoir dans une hyperbole ; mais alors elle ne serait qu’une fois visible, et, après son apparition, elle s’éloignerait au delà des limites du système solaire, et s’approcherait de nouveaux soleils pour s’en éloigner encore, en parcourant ainsi les divers systèmes répandus dans l’immensité des cieux. Il est probable, vu l’infinie variété de la nature, qu’il existe des astres semblables : leurs apparitions doivent être fort rares, et nous ne devons observer, le plus souvent, que des comètes qui, mues dans des orbes rentrants, reviennent, à des intervalles plus ou moins longs, dans les régions de l’espace voisines du soleil. »

h’attraction newtonienne a donné un sens rationnel et dynamique aux trois faits observés par Kepler ; une même force, agissant da la même manière, préside à tous les phénomènes célestes, les lie entre eux, permet de les calculer. Il nous reste à montrer que cette force, qui retient dans leurs orbites, satellites, planètes, comètes, est exactement assimilable à celle qui fait tomber les’ corps terrestres à la surface de notre globe ; que la tendance continue des planètes vers le soleil, .des satellites vers leurs planètes, n’est autre chosb que la pesanteur généralisée, ou, en sens inverse, que la pesanteur terrestre n’est qu’un cas particulier de l’attraction universelle. C’est l’existence de la lune et la connaissance dû mouvement lunaire qui ont permis à Newton de compléter sa découverte par cette assimilation capitale, et de faire ainsi disparaître la barrière qui séparait l’astronomie de la physique. « Si notre planète, dit Auguste Comte,

célestes, d’après les règles générales de la dynamique, sans pouvoir jamais les rattacher à ceux qui se produisent journellement parmi nous. Quoique l’harmonie universelle de notro monde devint ainsi infiniment moindre, cette conception n’en serait pas moins extrêmement précieuse. Mais l’existence de la lune nous a rendu l’immense service philosophique de lier intimement la mééanique du ciel à la mécanique terrestre, ’ en nous permettant de constater l’identité de la tendance continue de la lune vers la terre, avec la pesanteur proprement dite. »

Voyons d’abord les remarquables rapports d’analogie qui se présentent, avant toute démonstration rigoureuse, entre la pesanteur

terrestre et l’attraction céleste. L’attraction fait tendre les planètes vers le centre du soleil, le3 satellites vers le centre de leurs planètes, comme la pesanteur fait tendre les corps terrestres vers le centro de la terre ; l’attraction solaire sollicite également tous les corps placés à la même distance du soleil, comme là pesanteur terrestre les fait tomber. dans le vide, en temps égal, de la même hauteur. Un projectile, lancé horizontalement avec force et d’une grande hauteur, retombe au loin sur la terre, en décrivant une courbe parabolique ; en augmentant la vitesse de ce corps, on augmenterait à volonté le chemin qu’il parcourrait avant de retomber, et l’on, diminuerait la courbure de la ligne qu’il décrirait ; si sa vitesse de projection était d’environ sept mille mètres dans une seconde et n’était point éteinte par la résistance de l’atmosphère, il ne retomberait jamais et circulerait commo un satellite autour de la terre, sa force centrifuge étant alors égale à sa pesanteur. Pour faire une véritable lune de ce projectile, qui tourne au lieu de tomber, et qui tourne, comme, il tomberait, parce qu’il pèse, il suffit de l’élever à la même hauteur que cet astre, et de

’ lui donner le même mouvement de projection. L’expérience et le calcul nous disent que la force appelée par nous pesanteur peut produire des mouvements curvilignes, analogues au mouvement lunaire ; ne peut-on pas supposer qu’elle produit ce dernier mouvement ? ■ Un projectile, dit Newton, pourrait tourner autour de la terre par la force de la gravité ; ne se peut-il faire que la lune soit enchaînée à son orbite par cette même force ? >

Ce rapprochement entre la pesanteur et la tendance de la lune vers la terre est susceptible d’un examen mathématique qui ne saurait laisser aucune incertitude. En effet, d’après l’analyse dynamique du mouvement de la lune, on peut connaître l’intensité de l’action que la terre exerce sur elle, c’est-à-dire la quantité dont elle tend à tomber vers le centre de^ notre globe en un temps donné, une seconde, par exemple. Si nous supposons le mouvement lunaire circulaire et uniforme, nous n’avons besoin, pour déterminer cette quantité, que de trois données, le temps périodique de la lune, sa distance à là terre, et enfin le rayon terrestre. Il suffit ensuite d’augmenter cette intensité primitive, inversement au carré de la distance suivant la loi de l’attraction newtonienne, pour savoir ce qu’elle deviendrait, en supposant la lune placée tout près de la surface de la terre, afin de la confronter avec l’intensité effective de la pesanteur terrestre, qui peut être mesurée avec une

■ ! extrême précision, soit par l’observation directe de la chute des corps, soit par les expériences du pendule. L’identité ou la diversité de ces deux nombres décidera évidemment, en dernier ressort, si nous devons ou non assimiler à la pesanteur la tendance de la lune vers la terre. La lune, dans sa distancé moyenne, est éloignée du centre de la terre de 60 rayons terrestres ; elle est 60 fois plus éloignée que les corps qui tombent à la surface et qui ne sont séparés du centre que par le rayon. D’après la loi de Huyghens sur la mesure des torces centrales, l’intensité do l’action exercée par la terre sur la lune, à la distance où celle-ci se trouve, nous est donnée par la formule F = —, R étant

le rayon de la terre, et T te temps périodique de la lune..Si nous remplaçons T et R par leur valeur en secondes et en mètres, nous trouvons pour F une valeur 3,600 fois plus petite que 1 intensité de la pesanteur terrestre. Or, 3,600 est le carré de 00 ; par conséquent, cette valeur est précisément ce que serait celle de la pesanteur terrestre à la distance

de la lune, si elle s’affaiblissait, s

it la loi