qui ajoute ou qui soustrait ce nombre. C’est parce que cette distinction n’a pas toujours été faite clairement que les termes négatifs ont été souvent un écueil pour ceux qui les expliquaient. Un terme, il faut bien le comprendre, n’est pas, ne peut pas être négatif en soi ; il est négatif relativement à d’autres termes ; et c’est tout simplement pour donner plus de généralité au langage que le signe — qui exprime un rapport entre deux termes, se joint à l’un d’eux de manière à le qualifier comme si l’on pouvait faire abstraction de l’autre. « Les deux mots positif et négatif, dit M. Ch. Renouvier, ont un sens corrélatif et très-clair. La corrélation ôtée, ainsi que l’hypothèse d’une grandeur quelconque à laquelle se rapportent les opérations, et sur laquelle il soit possible de les exécuter, le mot négatif cesse d’être applicable à la quantité. »
On appelle termes semblables des termes qui renferment les mêmes lettres affectées des mêmes exposants : tels sont les termes et .
Une expression algébrique composée d’un seul terme s’appelle monôme ; on l’appelle binôme lorsqu’elle renferme deux termes ; trinôme quand elle en contient trois ; le mot polynôme désigne d’une façon générale toute expression contenant plusieurs termes. On regarde comme positif le premier terme d’un polynôme, lorsque ce premier terme n’est précédé d’aucun signe. Un polynôme peut jouer le rôle de terme dans un phrase algébrique : alors on l’écrit en le renfermant dans une parenthèse.
On appelle valeur numérique d’une expression algébrique le nombre que l’on obtient lorsque, attribuant des valeurs particulières aux lettres qui entrent dans cette expression, on effectue les opérations arithmétiques indiquées.
Une expression algébrique est dite rationnelle quand elle ne renferme aucun radical, irrationnelle dans le cas contraire. Une expression rationnelle est entière quand aucun de ses termes ne contient le signe de la division.
Le degré d’un terme est la somme des exposants des lettres qui y entrent, le nombre des facteurs littéraux de ce terme : Ainsi est du quatorzième degré. Un polynôme est dit homogène quand tous ses termes sont du même degré.
Ordonner un polynôme par rapport à une lettre, c’est écrire ses différents termes dans un ordre tel que les exposants de cette lettre aillent toujours en diminuant ou toujours en augmentant. La valeur numérique n’est pas altérée par ce changement dans l’ordre de ses termes.
Lorsqu’il y a dans un polynôme un certain nombre de termes semblables, soit positifs, soit négatifs, on peut réduire tous ces termes en un seul. Cette simplification s’effectue en faisant d’une part la somme de tous les termes positifs, de l’autre la somme de tous les termes négatifs, puis en prenant la différence de ces deux sommes et en donnant au résultat le signe de la plus grande.
Une ou plusieurs expressions algébriques étant données, on peut avoir à les ajouter entre elles, à les retrancher l’une de l’autre, à les multiplier, à les diviser, à les élever à une puissance donnée, à en extraire une racine d’un certain degré. Ces six opérations fondamentales, que l’arithmétique enseigne à exécuter sur des nombres, peuvent l’être aussi sur des quantités algébriques. V. Addition, Soustraction, Multiplication, Division, Puissance, Racine.
L’ensemble de deux expressions séparées par le signe = s’appelle une égalité ; les deux expressions elles-mêmes se nomment les deux membres de l’égalité. On donne le nom d’identité à une égalité dans laquelle les deux membres ne diffèrent que par la forme, et deviennent identiques quand on a effectué toutes les opérations indiquées. Ainsi 4 x 2 + 3 = 1 + 5 x 2, , sont des identités. La première est une identité numérique, la seconde une identité littérale. Une identité numérique ne renferme pas de lettres ; une identité littérale ne renferme pas d’inconnues.
Une égalité qui renferme au moins une quantité inconnue prend le nom d’équation. Une équation diffère d’une identité en ce qu’elle ne peut être vérifiée que par certaines valeurs attribuées aux inconnues qu’elle contient : Ainsi x = 1/4 x + 3/4 x est une identité, parce qu’elle subsiste quelle que soit la valeur de x ; mais 6 x — 2 = 3 x + 4 est une équation, parce qu’elle ne peut être vérifiée que par la valeur particulière 2 attribuée à x. L’équation est numérique ou littérale : numérique lorsque les quantités connues sont des nombres ; littérale lorsqu’elles sont représentées par des lettres.
Résoudre une équation, c’est trouver une quantité qui, mise à la place de l’inconnue, rende identiques les deux membres de cette équation : cette quantité est la racine de l’équation.
Les équations forment une des parties les plus importantes de la science des nombres, car la solution de tous les problèmes des mathématiques peut être ramenée à celui de la résolution d’une équation. On classe les équations 1o d’après le nombre des inconnues qu’elles renferment, 2o d’après le degré auquel les inconnues sont élevées. (V. Équation.) Une équation est une proposition dans laquelle le sujet et l’attribut peuvent se remplacer mutuellement. Le signe = lie les deux membres de l’équation, comme le verbe être lie les deux termes de la proposition. Tout le mécanisme du raisonnement algébrique consiste à passer par une suite d’équations ou de propositions identiques, jusqu’à ce qu’on arrive à une équation dernière, dont l’inconnue forme l’un des membres. « L’analyse des mathématiciens, dit Condillac, n’est autre chose que cette méthode qui, par un premier procédé, traduit dans une équation fondamentale toutes les données d’un problème, et qui, par un second procédé, fait subir à cette équation une suite de transformations jusqu’à ce qu’elle devienne l’équation finale qui renferme la solution. » La possibilité de traduire successivement une équation dans des expressions différentes repose sur cet axiome fondamental : quelles que soient les opérations qu’on puisse exécuter sur le premier membre a de l’équation a = b, si l’on fait subir les mêmes opérations au second membre b, l’équation subsiste.
Un exemple rendra plus sensible tout ce que nous venons de dire.
Soit posée la question suivante : 100 est la somme de deux nombres, 20 est leur différence ; quels sont ces deux nombres ?
Représentons par x le plus grand des nombres cherchés et l’autre par y ; nous avons les deux équations numériques suivantes :
qui, additionnées membre à membre, donnent
mais les deux termes + y et — y, affectés de signes contraires, se détruisent ; d’où
Si nous retranchons maintenant 20 de 100 d’une part, et x — y de x + y d’autre part,
nous avons l’équation :
qui prend la forme suivante :
Il faut observer, en effet, qu’en algèbre un terme négatif que l’on soustrait devient positif ; car soustraire une soustraction, c’est additionner, comme nier une négation, c’est affirmer. Dans l’équation les deux termes x et — x se détruisent, et nous avons pour résultat :
Rien de plus facile maintenant que d’obtenir les valeurs de x et de y. Si ; car enlever au nombre 2x son multiplicateur ou coefficient 2, c’est le diviser par 2, et il est évident qu’en rendant les deux membres le même nombre de fois plus petits, leur égalité ne sera pas altérée : donc
ou (ce qui est la même chose),
Même raisonnement sur les 2y de l’autre équation : donc
ou (ce qui est la même chose),
Nous n’avons fait jusqu’ici que résoudre un problème d’arithmétique par les équations. Pour entrer pleinement dans le domaine de l’algèbre comprise comme nous l’avons définie, représentons par a la somme donnée 100, et par b la différence donnée 20, nous avons les équations littérales suivantes :
qui donnent successivement :
Ces deux équations finales résultats certains des deux premières , résultats indépendants des valeurs particulières que l’on peut assigner aux lettres a et b, nous donnent en une fois la solution de toutes les questions possibles semblables à celles qu’on a posées au commencement, en nous indiquant une fois pour toutes les opérations arithmétiques faites pour les résoudre. Elles prennent le nom de formules algébriques, parce qu’elles formulent dans le langage laconique de l’algèbre et nous montrent dégagées de tous les faits qu’elles régissent les deux lois générales suivantes : la demi-somme, plus la demi-différence de deux nombres est égale au plus grand de ces nombres ; la demi-somme moins la demi-différence de deux nombres est égale au plus petit de ces nombres.
Remarquons, en terminant, qu’avec les signes algébriques le calcul et le raisonnement ne demandent presque point de mémoire ; la plume marche d’elle-même, et, pour ainsi dire, sans qu’on y pense, d’équation en équation, et la solution se trouve mécaniquement. Ceci rappelle une conversation de Voltaire avec Rivarol sur les mathématiques : « Eh ! bien, dit le patriarche de Ferney au jeune écrivain, qu’est-ce que c’est que cette algèbre où l’on marche toujours un bandeau sur les yeux ? — Il en est, répondit spirituellement Rivarol, des opérations de l’algèbre comme du travail de nos dentelières, qui en promenant leurs fils au travers d’un labyrinthe d’épingles, arrivent, sans le savoir, à former un magnifique tissu. »
III. — Histoire de l’algèbre. L’algèbre, dont on fait généralement remonter l’origine au géomètre Diophante d’Alexandrie (IVe siècle), est née de la recherche de procédés pour résoudre facilement et rapidement certains problèmes. L’ouvrage de Diophante, dont nous ne possédons que quelques livres, nous montre la science des relations des nombres déjà parvenue à un notable développement ; mais en réalité il appartient plutôt à l’arithmétique qu’à l’algèbre proprement dite. Diophante s’est surtout occupé de questions relatives aux propriétés des nombres, comme de partager un nombre carré en deux autres qui soient aussi des carrés. Il représentait l’inconnue par l’abréviation os, finale du mot grec arithmos (nombre) ; il n’employait ni les lettres de l’alphabet, ni les signes des fonctions, excepté toutefois le signe de la soustraction, qui était un ψ renversé et un peu tronqué.
On pense que les Arabes, qui ont donné son nom à l’algèbre, en ont emprunté les éléments aux auteurs grecs et principalement à Diophante. Leurs connaissances se réduisaient à peu près à la résolution des équations du premier et du deuxième degré ; elles passèrent en Italie, où elles furent développées par Léonard de Pise, dès le XIIIe siècle. La résolution des équations du troisième degré est due à deux géomètres italiens, Scipion Ferreo et Tartaglia. Ce dernier communiqua sa méthode à Jérôme Cardan, qui l’étendit considérablement et la publia en 1545. Ludovico Ferrari, disciple de Cardan, fit faire un pas plus important à la science, en découvrant une méthode de résolution des équations du quatrième degré. En même temps, d’autres mathématiciens contribuaient au perfectionnement du calcul par l’introduction d’une notation concise et systématique. L’Allemand Stifel, ou Stifelius, adoptait les signes + et — pour représenter l’addition et la soustraction, ainsi que le symbole pour signifier radical ou racine. L’Anglais Thomas Recorde inventait le signe de l’égalité = ; il fit choix de ce symbole parce que, disait-il, il ne peut y avoir deux choses plus égales entre elles que deux lignes parallèles.
Mais le véritable créateur de l’algèbre moderne, de la véritable algèbre, c’est-à-dire de la doctrine abstraite des fonctions numériques, est le Français Viète, né à Fontenay-le-Comte en 1540. Aux nombres toujours employés jusque-là Viète substitua des lettres qui, représentant des grandeurs quelconques, transformaient le raisonnement particulier en formule générale, en loi. Il imagina la plupart des simplifications que subissent, pour être plus tôt résolues, les égalités algébriques. L’algèbre n’avait été jusqu’alors qu’un auxiliaire de l’arithmétique appliquée, et, comme l’indique l’étymologie, un art des solutions ; elle s’était renfermée dans les équations numériques. Viète en fit, sous le nom de logistique spécieuse (species, symbole), une science qui enveloppe et domine l’arithmétique, dont la géométrie ne devait pas tarder à devenir tributaire, et dans laquelle Condillac a vu le type de toute logique qui veut être rigoureuse, et de toute langue qui veut être claire. Après Viète, l’Anglais Harriot reconnut l’existence des racines négatives : on lui doit aussi l’invention des signes < et > (plus petit et plus grand). Oughthred, à la même époque, fit adopter le signe x pour désigner la multiplication.
Descartes introduisit la notation des exposants et les principes de leur calcul. Il ouvrit un vaste champ de découvertes en appliquant l’analyse algébrique à l’étude de la nature et des propriétés des lignes courbes. (V. Géométrie.) Le premier il attribua des racines aux équations qui n’en ont ni de positives, ni de négatives, et montra que le nombre total des racines, tant réelles qu’imaginaires, se trouve toujours égal au degré de l’équation. En outre, l’application de l’algèbre à la géométrie lui permit de construire ou de représenter géométriquement l’équation des degrés supérieurs et d’interpréter leurs racines. Depuis Descartes, tous les géomètres ont cultivé l’algèbre, et il nous suffira de nommer Fermat, Wallis, Newton, Leibnitz, Moivre, Maclaurin, Euler, d’Alembert, Lagrange, Laplace, Fourier, Poisson, dont les travaux ont amené cette science à son état actuel. Parmi les progrès récents de l’algèbre, nous signalerons comme les plus importants la résolution des équations binômes par Gauss ; les travaux d’Abel, qui a démontré le premier l’impossibilité de résoudre algébriquement ou par radicaux les équations d’un degré supérieur au quatrième ; le théorème de Sturm, ceux de Cauchy, etc.
ALGÉBRIQUE adj. (al-jé-bri-ke — rad. algèbre). Qui appartient, qui a rapport à l’algèbre : Calcul, science, formule, opération, notation, solution, équation algébrique. Ce qui fait répugner de bons esprits aux considérations algébriques, c’est le haut degré d’abstraction qui caractérise l’algèbre. (Reyn.) Les formules algébriques ne sont pas la vérité, mais une expression compendieuse de la vérité. (Rossi.) C’est un axiome algébrique qui veut que l’on procède du connu à l’inconnu, et non de l’inconnu au connu. (Alex. Dum.) Il aperçut l’astronome impassible, qui griffonnait sur un morceau de papier une foule de signes algébriques et de figures de géométrie. (E. Sue.)
— Par compar. : Cela seul peut peindre l’exactitude algébrique de l’intraitable vertu du lieutenant. (E. Sue.)
ALGÉBRIQUEMENT adv. (al-jé-bri-ke-man — rad. algébrique). D’une manière algébrique, selon les règles de l’algèbre.
ALGÉBRISANT (al-jé-bri-zan) part. prés. du v. Algébriser.
ALGÉBRISÉ (al-jé-bri-zé) part. pass. du v. Algébriser.
ALGÉBRISER v. n. ou intr. (al-jé-bri-zé — rad. algèbre). S’occuper d’algèbre, faire de l’algèbre.
— Fam. et iron. Employer trop fréquemment des formules savantes, traiter un sujet trop scientifiquement : Certains écrivains ont un grand penchant à algébriser’ dans leurs ouvrages. (Reyn.)
ALGÉBRISTE s. m. (al-jé-bri-ste — rad. algèbre). Celui qui sait l’algèbre, qui fait des opérations d’algèbre : C’est un bon algébriste. (Acad.) La résolution des équations du troisième et du quatrième degré, le dénoûment des fameux cas irréductibles furent la grande affaire des algébristes du XVIe siècle (Liouville.) Il se passera probablement quelques siècles avant que la Grèce produise des algébristes ou des érudits. (E. About.) Il est nécessaire aujourd’hui d’être algébriste et géomètre pour devenir astronome, ingénieur ou navigateur. (Cabanis.) Commençons par désobstruer le chemin ; le moyen pour cela est de procéder à la façon des algébristes, par élimination. (Proudh.) À une représentation d’Athalie, un algébriste étonné des applaudissements frénétiques du parterre, s’écriait : « Qu’est-ce que cela prouve ? »
Tenant sous son regard l’histoire toute nue,
De chaque événement dégage l’inconnue…
|| Peut s’empl. au fém. : Mademoiselle Sophie Germain était une excellente algébriste. (Raym.)
ALGEDO s. m. (al-je-do — du gr. algeό, je souffre). Pathol. Nom donné à des douleurs vives à la vessie, à l’anus, aux testicules, qui succèdent quelquefois à la suppression brusque d’une blennorrhagie.
ALGENIB s. m. (al-je-nibb — mot tiré de l’arabe). Étoile secondaire marquant l’angle inférieur à gauche du grand carré de Pégase, sur le prolongement d’une ligne allant de l’étoile S de la Grande-Ourse à 1 étoile polaire, et passant par l’étoile B de Cassiopée.
ALGER, ville du nord de l’Afrique, bâtie en amphithéâtre sur la Méditerranée, et adossée à une colline au sommet de laquelle s’élève la fameuse citadelle appelée la Casbah. Cap. de l’Algérie, à 767 kil. de Marseille et 1,557 kil. de Paris ; résidence du gouverneur général de l’Algérie ; évêché, cour d’appel pour toute l’Algérie ; pop. (intra muros) 46,168 hab. ; avec les faubourgs, 58,315 hab. La ville se divise en deux parties : la partie haute, qui a conservé la physionomie primitive d’une ville musulmane, et la partie basse, bâtie à l’européenne ; elle comprend deux faubourgs importants, Bab-el-Oued et Bab-Azzoun ; ses places principales sont : celle du Gouvernement ; la place de Chartres, décorée d’un fontaine ; la place de la Pêcherie ; la place du Soudan ; la place d’Isly, et la place d’Armes ou esplanade, Bab-el-Oued. La partie haute se compose de maisons carrées, blanchies à la chaux et sans ouvertures sur les rues ; les chambres ne reçoivent de jour que par une cour intérieure ; les rues sont étroites, sales, tortueuses, et l’aspect général est des plus monotones. Les principaux monuments sont : le palais du gouverneur, l’évêché, la cathédrale Saint-Philippe, un temple protestant, la préfecture, trois théâtres, les statues du duc d’Orléans et du maréchal Bugeaud, et le port, qui est appelé à devenir un jour une des belles constructions de ce genre.
Parmi les monuments d’origine arabe, les principaux sont :
Djama-Kebir (la grande mosquée). Cet édifice est le plus ancien de ce genre à Alger, puisqu’une inscription, qui se lisait anciennement, en ferait remonter l’achèvement à l’an 409 de l’hégire (1018 de J.-C). La grande mosquée, couvrant une superficie de 1,000 mètres carrés, présente, rue de la Marine, une galerie de quatorze arcades dentelées, retombant sur des colonnes en marbre blanc, qui proviennent de la mosquée es-Saïda, bâtie par Ismaïl-Pacha, en 1662. Une fontaine, formée de deux vasques, a été placée à la rencontre des lignes qui font un angle obtus au milieu de cette galerie. La mosquée prend jour par les portes ouvrant sur la galerie de la mer et par les arcades de la cour. L’édifice, blanchi à
