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....., log. S
173S divisé par, SlO ou 1024 donne pour quo-r tient l=w, .et pour reste 714 ; ce reste 711 divisé par 29, oû 512, donne pourquotient 1 = p, etjàour, reste 202 ; ce reste 202 divisé par 2» ou 256 donne pour quotient 0 = q ; le même reste 202, divisé par 2 ? pu 128, donne pour quotient 1 = r, et pour reste 74 ; ce reste 74, aiyisé par,2<> ou 04, donne pour.quotient i(=s s, et po.ùr reste 10 ; ce reste 10, divisé, par 2», ou 32, donne pour quotiêntO = t ; le même reste : 10diyisé, par 2>, ou.16, donne.0 =.u ;, le même, reste,10 divisé., par 2 ? ou 8 donne pour.quotient 1 =, io, et pour res’tê ;^ ;, ce, reste 2 divisé, par. 22 ou, 4 donne 0 =vz ; le même reste 2 divisé par, 2* donne 1 = //enfin, le reste û.di-t visé par 2* ou 1 donno. O = n. Donc le nombre 1738 de l’échelle décimale sera uouôoioio., On voit que la formulé axn+bxn-i-jrcxn~^ +dx'nLTi’, etc.’ = m (x + yY+.p (x"± y)v-l +q(x±y)v-%r(x±y)v- ?+s(œ±y)v-Àc., permet de- ramener, une échelle arithmétique quelconque à-telle autre échelle que l’on veut.
chellp décimale dans la numération parlée. Ce fait ’avait déjà frappé l’attentiond’Aristote. « Pourquoi, dit-il dans ses Problèmes, tous les hommes-."tant bàrbâfès’qûe Grecs, -comptentilsjusqu à dix et non pâs-jusqu’à quelque autre nombre" comme2, "3, 4 ou’5, et-pourquoi né reprênhént-ils pas alorsla série des1 nombres’ en disant tin et cinq, deux et cinq, comme" ils disent 'un’ et ’dix, deux et dix ? Et pourquoi, s’arrêtant au nombre dix, recommencent-ils à’ compter.en reprenant’la. série au delà de ce nombre ?... Ce n’est certainement pas par hasard, — ajoute-t-il, que les hommes agissent ainsi, là comme en toutes choses ; car ce qui se produit partout et toujours n’est point un effet du hasard, mais un fait naturel.. • Puis viennent les hypothèses : « Est-ce parce que le nombre dix est un nombre parfait : car il contient-tous les- genres de nombres, le pair et l’impair, le carré et le cube, le linéaire et le superficiel, le premier et le composé ? Est-ce parce que le nombre dix est le principe des nombres, puisque 1 plus 2, plus 3, plus 4, constituent la décade ? Est-ce parce qu’il existe neuf corps mobiles ?.:. N’est-ce" pas plutôt parce que tous les hommes possèdent naturellement dix doigts, parce que, possédant ainsi les-signes d’un1 nombre qui leur est propre, ils y rapportent tous les autres ?’ Auxvnr= siècle, 13uffon.se posé la même question, ’dans son’ Essai d’arithmétique morale ; il s’arrête à la dernière hypothèse d’Aristote : « Pourquoi, dit-il, — a-t-on préféré le nombre dix comme racine de nôtre échelle arithmétique aux autres nombres, dont chacun pouvait être, aussi bien’que le nombre dix, la’ racine d’une échelle arithmétique ? On peut imagiûer que c’est là confoïmatiôn’de la main ? qui a" déterminé’céchoix, " plutôt’qu’une connaissance de
réflexion. L’homme a d’abord compté par ses doigts ; le nombre 'dix a paru lui appartenir plus que les autres nombres, et s’est trouvé plus près de ses yeux. • Comme Buffon, Condillac met sur le compte dé nos mains l’emploi de l’échelle décimale. ■• La nature, dit-il, en nous’formant’des mains, nous a donné les premières notions de calcul. Nous n’avons que dix doigts. C’est par cette raison qu’ayant porté la numération jusqu’à dix, nous recommençons en prenant dix pour une unité, et nous n’avons’plus qu’à continuer pour formerune suite qui pourra toujours croître.»
Des recherches faites par Alexandré de Humboldt^par’M. Pott, etc., il résulte qu’en réalité il y a eu trois systèmes de numération. primitifs : le système quinaire, le système décimal et le système vigésimal. Ces trois systèmes de numération, qui ont coexisté à l’orin laissant quelques vestiges de leur existence * primitive. La langue française actuelle nous offre dans le- terme quatre-vingts un débris de l’ancien système vigésimal ; et ce débris, unique ; > aûjourd ; hui, s y accompagnait jadis’ dé plusieurs■ autresi, ’comme ’le prouvent les termes six-vingts, huit-vingts, quinze-vingts, < aujourdTiui tombés en désuétude. Les Etrusques et les Romains avaient des signes particuliers V, L, D, pour indiquer les -nombres cinq, cinquante et cinq cents ; ce qui nous montre une combinaison particulière des systèmes quinaire et décimal. Ailleurs, le système vigé^ simâl existe seul et sans êtréaccompagné d’un système quinaire ou dénàirei Chez les Aztèques’du Mexique ! les, unités sont repré’sentéesr par des clous ;, une plume représente le nombre vingt ; une plume dont le tuyau est’ rempli ’de pûïdre d’or, la deuxième puissance dé 20 ou 400 ;.in petit sac avec huit mille amàiides de cacao, la’ troisième puissance de 20, ou 8000.
Ce £hoix primitif, nous ne dirons plus de l’échelle décimale, mais des trois échelles quinaire, décimale *et vigésimale^m’a pu être, comme le dit très-bien Aristote, l’effet du hasard, le résultat d’une convention arbitraire ; car le hasard aurait certainement produit une bien plus grande variété dans les systèmes primitifs de numération. C’est avec raison aussi que Buffon refuse d’y.voir le produit d’une connaissance de réflexion ; car la langue
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|de l’arithmétique a nécessairement précédé l’étude des propriétés dès nombres, et l’on peut croire que si des mathématiciens avaient fait cette langue, ils auraient préféré l’échelle yiuodécimàle à’toute autre. Donc ce choix a été spontané et naturel ; la cause qui l’a déterminé doit être cherchée non dans le nombre abstrait, mais dans le nombre concret ; cette cause ne peut être que l’organisation humaine. Les doigts de nos mains, de nos pieds, forment dés quotités, des collections naturelles, des quotités, ’des collections qui sont propres à l’homme, qu’il a constamment sous les yeux, et auxquelles il est naturel qu’ilcompare toutes les autres quotités. Les traivaux modernes sur l’origine des langues ont établi la réalité de cette cause et élevé à la hauteur d’un fait historique ce qui a été longtemps considéré comme une simple hypothèse. « Nous pouvons affirmer aujourd’hui, dit M. Dareste, que le corps de l’homme a été le point de départ des trois systèmes de numération qui ont constitué la numération
parlée, do même qu’il a fourni- les premières mesures.’Les doigts, qui ont été les premiers instruments dé arithmétique, ont réglé par leuf’nombre les’intervalles qui ont séparé à des distances égales les 3ivers termes de la suite des nombres ; et c’est ainsi que sont nés les’ systèmes quinaire, décimal et vigésimal, parce que l’on a compté tantôt les doigts d’une seule main, tantôt ceux des deux mains, tantôt, enfin, ceux des deux mains et des deux pieds. » Ce qui prouve que la préférence accordée aux nombres cinq, dix et vingt n’a pas d’autre origine, ce sont les dénominations mêmes des nombres cinq et dix. Il existe encore aujourd’hui beaucoup de peuples chez lesquels une main veut dire cinq, et deux mains dix. Dans la langue persane, le même mot pentcha ou pantcha (évidemment parent du pente, grec et du quinque latin) veut dire à la fois cinq et main. Dans la langue .ckibcha, que parlaient les Muyscas, les nombres onze, douze, etel, supprimaient par les mots pied un, pied deux, etc. (quihicka ata, quihicha bosa, etc.). :
Ainsi, la linguistique nous révèle d’une manière positive l’origine de notre numération parlée ; nous comptons pardix, parce-que lanature nous a donné dix doigts ; nous compterions par douze, si elle nous.avait donné douze doigts ; il est vraiment fâcheux que nous n’ayons pas trouvé dans notre conformation le type de ce dernier sysième, qui est plus parfait et plus digne-de la science. — Il est fâcheux, répond Ch. Fourier, que les peuples, dans le choix’d’une échelle arithmétique, n’aient pas su reconnaître et suivre les véri- • tables indications de la nature ; car s’ils ont fait fausse route, ce n’est pas à la nature qu’il faut s’en prendre ; elle n’est pas, comme on lé prétend, complice du système décimal ; la vérité est, au contraire, que nos mains sont positivement et exclusivement conformées pour
la. numération par douze. L’homme primitifaurait dû voir que ses.doigte ne.sont pas des, unités semblables, des unités de même grade ; qu’il en a quatre composés de trois phalanges, et un cinquième, le pouce, doigt opposé, doigt pivotai, destiné, dans la numération digitale, aux fonctions de compteur ou numérateur ; qu’il pouvait d’abord et très-simplement marnuer sur les douze phalanges d’une main les douze premiers nombres ; que l’autre main lui offrait les douze termes de l’échelle des douzaines ; en un. mot, qu’il pouvait, avec ses pouces, compter sur ses mains jusqu’à treize fois douze, ce qui fait, dans Je système décimal, cent cinquante-six. Malheureusement, l’homme primitif n’a pas vu cela : il a compté ses doigts sans mettre a part le pouce ; il les a comptés avant de compter ses phalanges, sans doute parce que.ses doigts formaient, à ses yeux, des unités plus distinctes, et voilà pourquoi dix est la racine de notre échelle arithmétique.. — •
On a vu que notre système de numération parlée tire son origine du calcul digital, qui fut le premier calcul, comme le langage d’action fut le premier langage. Mais il est facile de comprendre que ce premier calcul, qui s’est conservé chez un grand nombre de peuples,- devait être d’un emploi fort restreint.- D’autre part, le calcul avec les noms.le calcul mental, c’est-à-dire à l’aide de la seule mémoire, de la seule numération parlée, ne pouvait, à moins de facultés exceptionnelles, s’appliquer à des, combinaisons de nombres un peu élevés. De ’ là la nécessité, qui dut être sentie de très-bonne.heure, de chercher, pour exprimer les inombres, des signes matériels plus nombreux et plus faciles à manier que les doigts, et qui, comme les doigts, parlant aux yeux au lieu de s’adresser aux oreilles, permissent d’embrasser simultanément les diverses combinaisons numériques, rendissent.permanente la suite des calculs, et fissent toujours voir ce qu’on avait fait et ce qui restait à faire..C’est ainsi : que les Péruviens appliquèrent à l’expression des nombres des nœuds pratiqués sur des rubans et appelés quipos. Ailleurs ou se servit de grains de blé. Mais les objets que l’on employa le plus généralement furent des cailloux ou de petites pierres, et c’est même là l’origine des divers termes dont on se servit pour les opérations arithmétiques (pséphos, en grée ; calculas, en latin). « Notre mémoire, dit Con- ’ dillac, nous permet d’opérer facilement sur de petits nombres ; mais comment, par exemple, multiplier 'trois dizaines de mille, plus deux
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mille, plus huit cents, plus sept dizaines, plus cinq unités, par neuf mille, plus six cents, plus quatre dizaines, plus trois unités. Les doigts ne seraient ici d’aucun secours, parce qu’il ne leur serait pas possible d’exprimer distinctement et à la fois deux nombres aussi composés ; et cependant il faudrait que toutes les parties en fussent en même temps sous les yeux. Ce serait le. seul moyen de soulager la mémoire, -et tous les peuples l’ont senti. En conséquence, ils ont substitué aux doigts dessignes plus commodes : tels sont les cailloux, d’où dérive le mot calcul. • Plus loin, l’auteur de la Langue des calculs expose comment il ■conçoit la manière d’employer les cailloux dans les opérations arithmétiques. « Traçons, ■.dit-il, sur une table, une suite de lignes verticales et plaçons des cailloux sur chacune : sur la première, les cailloux signifieront des unités du premier ordre ; sur la seconde, des unités du second ordre ; sur la troisième, des unités du troisième ordre, etc. Et s’il y a des ordres d’unités qu’un nombre ne contienne pas, il y aura des rangs où l’on ne mettra point de cailloux. Par exemple, pour exprimer cent deux, on mettra deux cailloux siir la première ligne, un sur la troisième et point sur la seconde. Lorsque par ce moyen nous aurons exprimé plusieurs nombres, il sera facile d’en faire l’addition, puisque nous n’aurons qu’à faire un tas de tous les cailloux qui se trouveront dans des rangs correspondants. La soustraction ne sera pas plus difficile : il suffira d’ôter de chaque rang du plus grand nombre autant de cailloux qu’il y en aura dans chaque rang correspondant du plus petit. Enfin, on ne trouvera pas de grandes difficultés dans la multiplication et dans la division. » Cette conception de Condillac a été réalisée dans plusieurs pays, et elle a conduit à la construction d’instruments particuliers, de. véritables machines à calcul. Entre la numération parlée et la numération écrite se place l’emploi de ces instruments, le calcul au moyen d’unités matérielles, ce qu’on peut appeler avec Humboldt la numération palpable. Les populations de l’extrême Orient, comme les
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souwan pan, qui est encore aujourd’hui constamment employée pour les besoins du commerce et de l’administration. C’est un cadre oblong renfermant plusieurs rangées de boules mobiles sur des fils tendus dans l’intérieur du cadre et disposés perpendiculairement à sa longueur ;’ cette machine, que les marchands chinois manœuvrent avec une merveilleuse rapidité, a été importée en Russie par les conquérants mongols vers la fin du moyen âge. Les Russes colorent diversement les boules qui représentent les unités, les dizaines, les centaines. ■ Le général Poncelet, pendant sa captivité en Russie, apprit à connaître cette machine, nommée tcfiotUj et’ l’apporta en France. D’après les indications de M. Poncelet, on a, depuis, employé le boulier (c’est le nom français du tchotu russe, du souwan pan chinois) dans les salles d’asile pour familiariser les enfants avec les premiers éléments de l’arithmétique. La machine à calcul des Chinois a, de tout temps, été fondée sur le système décimal : une boule de la deuxième ligne vaut dix boules de la première, une boule de la troisième dix boules de la seconde.
Les anciens Etrusques avaient de leur côté imaginé une machine à calcul tout à fait semblabie, quant à son principe, au souwan pan chinois. Cet instrument, désigné sous le nom à’abax ou ù’abacus, n’était autre chose qu’une table divisée en un certain nombre de colonnes parallèles, dont la première était affectée aux unités, tandis que les suivantes étaient affectées aux dizaines, centaines, etc. Les calculs s’y faisaient ordinairement avec de petites pierres ou plus tard des jetons qui indiquaient les unités, et dont la.valeur changeait d’après le numéro de la colonne dans laquelle elles étaient placées. Dans les abaques perfectionnés on pratiquait les calculs en faisant glisserdes boutons dans une rainure. Pour chaquerat>
tandis que le cinquième en valait cinq. Les rainures des unités décuples étaient marquées des lettres numérales de la numération roromaioe I, X, C, M. L’abaque fut transmis par les Etrusques aux Romains, qui l’employèrent dans toutes leurs opérations arithmétiques. À défaut d’abaque on se servait d’une table couverte de sable, sur laquelle on figurait des colonnes verticales parallèles, représentant les divisions de l’abaque, et l’on traçait sur le sable des caractères représentant les nombres. On employait aussi des jetons qui représentaient les unités et que l’on disposait sur une table en lignes parallèles figurant les, colonnes verticales de l’abaque. Plusieurs exemplaires de l’abaque romain nous sont parvenus. Il en existe un au cabinet dès antiques de la Bibliothèque impériale. L’abaque à — ’ des Doutons enfilés, la table
qui n’étaient que des imitations de l’abaque, furent transmis par les Romain ? aux populations néo-latines, et se perpétrèrent jusqu’à une époque très-rapproenée de 1s nôtre. Pascal et M"": de Sévigné au xvn» siècle, Buffon au xvine, parlent du calcul au moyen de jetons comme d’un usage fort répandu. « Cette façon de compter (avec des jetons), lisons-nous dans l’Arithmétique morale de Buffon, est très- ARI
et elle no laisse pas d’être utile ; les femmes ei tant d’autres gens qui ne savent ou, ne leulent pas écrire aiment à manier des’
La numération parlée avait fourni l’expression orale de tous les nombres, grâce à la conception très-simple d’unités de différentes grandeurs régulièrement échelonnées ; le caractère saillant de la numération palpable fut de marquer, de traduire aux yeux, au toucher cette différence de grandeur des unités, d’
remarquer qu’en cette circonstance, on avait. à choisir entre la différence de position et la différence de forme ; mais le premier moyen était évidemment de beaucoup le plus simple ; il se prêtait bien mieux aux besoins de tous et de tous les jours, parce qu’il permettait de s’accommoder indifféremment de toute espèce d’unités matérielles, et qu’il n’imposait à l’esprit, à la mémoire, qu’une seule convention. Longtemps employée pour tous les calculs arithmétiques que les nécessités de la vie imposent chaque jour, la numération palpable n’a pu être définitivement-vaincue, détrônée que par un système de numération écrite qui, reposant sur le principe de la valeur de posi Passons à l’histoire de la numération écrite. Une question se présente tout d’abord ; quelle est l’origine des signes numériques ? • Les signes numériques, répond M. Dareste, nous présentent ce curieux caractère d’être les seuls débris persistants de ces anciennes écritures hiéroglyphiques dont nous avons tant de peine à retrouver le sens, et qui présentent aujourd’hui de si curieuses énigmes aux personnes qui s’occupent des premiers temps de l’histoire. Tandis que la plupart des hiéroglyphes disparaissaient complètement, ou peut-être se transformaient complètement en signes phonétiques ou alphabétiques, c’est-à-dire en lettres, les signes de nombres, au contraire, se sont partout conservés, et ils ont perpétué leur existence jusqu’à nos jours, sans que la nature propre, c’est-à-dire la signification, s’en soit aucunement modifiée. » M. Dareste développe très-bien les raisons qui expliquaient et nécessitaient la conservation des hiéroglyphes numériques. Pour exprimer un nombre peu élevé dans l’écriture hiéroglyphique, il sufrtsaitd’un signe unique ; tandis que pour obtenir le même résultat dans l’écriture phonétique, il fallait évidemment l’emploi de plusieurs signes. De plus, le signe qui exprime un nombre dans l’écriture hiéroglyphique est un signe spécial et qui ne peut pas être confondu avec d’autres, un signe qui. ne représente que le nombre même et non les sons et les articulations qui le désignent dans le langage ; tandis que dans l’écriture phonétique les divers signes qui constituent les ^représentations du nom de nombre ne sont que
ceux qui entrent dans la figuration d’un mot quelconque. La pratique du calcul surtout exigeait impérieusement la conservation des signes hiéroglyphiques dçs nombres. Calculer, en effet, c’est combiner des nombres, c’est-à-dire des idées d’une nature spéciale. Pour combiner des idées, il était beaucoup plus facile de combiner des signes d’idées que de combiner les signes des mots qui traduisent ces idées.
sons d’hiéroglyphes employés par les différents peuples pour écrire les nombres. L’ancienne écriture hiéroglyphique des Égyptiens contenait qu’un petit nombre de signes
l’exprimer répéter le signe de" chaque espèce d’unité autant de fois que ce nombre l’exigeait. Les unités simples étaient représentées par autant de lignes verticales ; les dizaines l’étaient par des cercles entr’ouverls ; le cent était figuré par un signe qui rappelle une feuille de palmier enroulée ; mille était une fleur de lotus, dix mille un doigt recourbé. Ce système de notation numérique, dans lequel, comme Humboldt en fait la remarque, on ne lit point les unités, mais où on les compte, était très-simple, et l’on conçoit très-bien qu’il ait dû précéder les autres. Il se retrouve chez les Romains, qui répétaient, comme bn sait, les signes des unités simples (I), des dizaines (X), des centaines (C), des mille (M), pour marquer le nombre de chacune de ces espèces d’unités, et qui n’avaient d’autres signes spéciaux que pour cinq (V), cinquante (L) et cinq cents (D). Le principe de la répétition des unités pouvait convenir pour les inscriptions ; mais il se prêtait beaucoup moins à une écriture rapide ou cursive, et par suite à la pratique des calculs. On devait donc être conduit à inventer des signes spéciaux pour chacun des neuf premiers nombres. La numération écrite de la langue pehlvi nous offre la transition de l’un à l’autre système. Les quatre premiers nombres y sont constitués par quatre signes dont la forme générale est analogue : c’est un trait recourbé, mais qui présente à sa partie supérieure un nombre de dentelures égal au nombre des unités qui entrent dans la composition du chiffre. Les autres nombres, de cinq à neuf,
