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PARA

une ellipse dont les axes seraient devenus infinis, la distance d’un foyer au sommet voiaîn étant restée finie. En effet, considérons une ellipse AA’ et son cercle directeur LL’ décrit de F comme centre avec AA’ pour ■rayon ; on sait que cette ellipse est le lien des pointa également distants du cercle LL’ et du foj’er F : or, si l’on imagine que l’on repousse vers la droite, d’une même quantité, F’ et A’, le centre directeur ne cessera pas de passer par le même point L ; d’ailleurs, ce cercle, en grandissant, tendra à se confondre avec sa tangente Où’ menée en L.

l’ig. 2.

L’ellipse AA’, lorsque son sommet A’ se sera transporté à l’infini, ne se distinguera donc plus de la parabole définie par la directrice DD’ et par le foyer F.

L’assimilation qui vient d’être établie permet de déduire très-aisément les propriétés de la parabole de celles de l’ellipse. Ainsi, puisque la tangente à l’ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs menés des foyers au point de contact, la tangente à la parabole fera des angles égaux avec le rayon Vecteur mené du foyer au point de contact et avec la parallèle a l’axe, parce que cette parallèle représentera le second rayon vecteur. Soit M le point par lequel on veut mener une tangente à a parabole ; on aura cette tangente MT en construisant la bissectrice de l’angle QMF formé par le rayon vecteur et la perpendiculaire à la directrice. Comme te triangle QMF sera isocèle, la tangente passera au milieu I de QF, qui appartient aussi à la tangente Ay menée au sommet : il en résulte que le lieu des projections du foyer sur toutes les tangentes à la parabole est la tangente au sommet. Cet énoncé n’est que le transformé de celui qui se rapportait à l’ellipse, car la circonférence décrite sur le grand axe de l’ellipse, comme diamètre, devient la tangente au sommet de &parabole. -.

Si l’on propose do même une tangente à. la parabole par un point extérieur T, pour l’obtenir on remarquera que, les distances TF et TQ devant être égales, on aura le point Q par l’intersection de la directrice avec la circonférence décrite de T comme centre avec TF pour rayon. Le point Q étant ainsi déterminé, il ne restera plus qu’à mener la perpendicufaire TM à QF ; quant au point do coniactM, on l’obtiendra en menant la parallèle AM.à l’axe.

Enfin, s’il s’agissait de mener une tangente à la parabole parallèlement à une droite donnée SS’, on tracerait la perpendiculaire F1Q à cette droite, par le point I on mènerait la tangente cherchée TM, parallèlement à SS’, ’ et le point de contact M résulterait de l’intersection de TM avec la parallèle QM à l’axe.

Les deux tangentes menées à la parabole par un point de la directrice sont perpendiculaires l’une sur l’autre et la corde des con-, tacts passe par le foyer. En effet, si l’on imagine menées les deux tangentes TM, TM’, les perpendiculaires à la directrice MQ et M’Q’, enfin les rayons vecteurs FM et FM’,

Fig. 3.

les deux triangles TFM et TQM étant égaux, ainsi que les deux triangles TFM’ etTQ’M’, TM et TM’ seront les bissectrices des angles QTF et Q’TF ; elles seront donc perpendiculaires l’une sur l’autre ; d’ailleurs, les angles

jûl

PARA

TFM et TFM’ étant droits, FM et FM’seront en prolongement l’une de l’autre.

Dans la parabole ta sous-normale est constante. En effet, la tangente faisant dès angles égaux avec le rayon vecteur mené du foyer au point de contact et l’axe, il en est de même de la normale. Cela posé, le triangle MFN (fig. 1) est isocèle, FN = FM == MQ = PL = LF + FP ; donc FN — FP ou PN, c’est-à-dire la sous-normale^ est égale à LF, c’est-à-dire à la distance du foyer à la directrice.

Si l’on veut rapporter la courbe aux axes Ax, Ay (fig. l), .on n’aura qu’à traduire l’équation-FM = MQ ; en désignant AP para ;, MP par y et LF par p, on aura

par conséquent

(«-9".■

et MQ = x +

2’

;»’+(’-i)’-H)’

ou

y* = 2px. L’équation de la tangente à ta courbe rapportée aux mêmes axes est.

Yy-p(X + »), a ; et y désignant les coordonnées du point de contact et X, Y les coordonnées courantes ; cette équation montre que la sous-tangente est double de l’abscisse du point de contact, car, si l’on y fait Y = 0, on en tire X = —x. ■ L’équation du diamètre conjugué des cordes parallèles à la direction y = mx est

my—p = G

(v. diametb.es) ; tous les diamètres de la parabole sont donc parallèles à l’axe, comme on pouvait le prévoir d’après.l’assimilation de la courbe à une ellipse dont le centre serait a l’infini.

Si l’on voulait rapporter la parabole à un quelconque de ses diamètres et à la tangente menée à l’extrémité de ce diamètre, en désignant par a et b les coordonnées de la nouvelle origine et par « l’angle des nouveaux axes, les formules de transformation seraient

x = a + x’ -J- y’ cos o et y = b + y’ sin a’ ;

l’équation nouvelle de la courbe serait donc

sin1 a sin a’y" 4* 2b sin ay'

--b’ Zpy’ cos a — Ipx’ — 2pa = o,

ou, en tenant compte des relations,

d’où

b’ = Zpa et tang » = Ç<

vV + 61

et cos o = •

/p1 + b’

P’

p’ + b ou encore

5»"

y" = î'p'

zP’ + 2pax,

c’est-à-dire enfin

Cette équation est entièrement forme que celle de la courbe

de même rapportée

à son axe, çt, particularité remarquable,

P le demi-paramètre a + £ représente encore

la distance de l’origine au foyer, comme

P le demi-paramètre ~ représentait la distance

du sommet au foyer. •

Si l’on rapporte ta parabole à son foyer pris pour pôle et à son axe pris pour axe polaire, son équation est

d’où

!FM = MQ= ? + i = 5 + Pcos<
  • 2

1 — COS 0J

Les conjuguées de la parabole sont toutes les paraboles égalés qui lui seraient opposées par un diamètre commun conjugué des mêmes cordes. En effet, si l’on veut connaître la conjuguée de la courbe dont les cordes réelles seraient parallèles à une direction donnée, on pourra rapporter le lieu à la tangente parallèle k cette direction et au diamètre conjugué ; l’équation de la courbe réelle sera y" = ïpV et, si on la coupe par des droites x’ = —a ;", la lieu imaginaire des points de rencontre sera la parabole

y" = — Zp’x". Pour avoir l’aire d’un segment MA’N de la parabole, on peut rapporter la courbe au diamètre A’x’ conjugué de la direction MN et à la tangente A’y’ correspondante ; l’équation de la courbe étant alors y"1 = 2pV, l’aire MA’P est formée par l’intégrale

/«’ (<& t

sin 8 I dx’fap’x’ ou siai-Jip’ | x’drf, x/o t/o

Cette intégrale est

Z t— * 2 —•

— sin tvipx’ï ou - sin t>x’/2px’,

ou encore - sin îx’y 3

’. PARA

Ainsi, l’aire du demi-segment MA’P est les deux tiers de celle du parallélograine A’PMQ. Si l’on prend A’T = A’P et que l’on joigne TM et TN, ces droites seront tangentes à la

PARA

189

courbe, en M et N, puisque l’on sait que la sous-tangente à la parabole est double de labseisse ; d’ailleurs les triangles TMP.et TNP seront respectivement équivalents aux parallélogrammes A’PMQ et A’PNK ; on peut donc encore dire que le segment MA’N est les deux tiers du triangle intercepté par la corde MN et les tangentes menées en M et en N. • ■

L’iniégrale qui fournit l’aire de la parabole na pas de période, comme.cela devait être ; en effet, la, période de l’intégrale qui fournit faire de l’ellipse mesurant l’aire-même de cette ellipse, cette période devait devenir infime et, par conséquent, disparaître en passant de l’ellipse à*la parabole. ; • ;, ■, ■

La rectification de la parabole n’exige que 1 emploi des fonctions circulaires ; en effet, la différentielle de l’arc de cettecourbe s’exprime par :, ’■ ■"’ '-’ ' " *

=-j^^V + pV- ■■■

par conséquent l’arc est

en intégrant par parties, il vient

s = -3/Vy’ + p^

mais

PjVy’ '+ p^

J yy+p’ J J yV-r-p’

par conséquent • 1

s^yvWp’-s+p f-iL. p J vWp1

d’où

ç^F+F’ + fA^

S = r-

S = ^ !/*V + P* + | L(y+ /tf+p>) + C.

Si l’on veut faite commencer l’arc au sommet, il faut poser

0 = |Lp + C

et il vient alors

l^

Le rayon de courbure de la parabole au point xy est

La parabole est la trajectoire d’un mobile soumis à l’action d’une force constante de

Grandeur et de direction. Ce fait peut encore tre considéré comme dérivant de ce que l’on sait relativement à l’ellipse : que cette courbé est la trajectoire d’un mobile attiré vers son foyer en raison "inverse du carré de la distance à ce foyer. Si ce point s’éloigne à l’infini, la force conserve une direction et une intensité constantes.

Paraboles do maître Alain (LES), recueil de

maximes, en vers latins élégiaques, du célèbre théologien Alain de Lille, surnommé le Docteur universel. Ce recueil, traduit en français au xvie siècle, porte en latin le titre dé Doctrinale minus, pour le distinguer d’un autre ouvrage du même auteur, ’le doctrinale altum, extrait dé l’Écriture sainte. LesiWaboles, résumé de la science morale de l’homme qu’au xnie siècle on considérait comme marchant à la tête de tous les docteurs de son temps, sont fort remarquables, «t comme fond et comme forme. « Cet opuscule, dit Dom Brial (Histoire littéraire), contient de très-belles maximes exprimées d’une manière fort spirituelle. Le sujet que l’auteur y traite est mixte ; ses paraboles roulent tantôt sur la

morale, tantôt sur la philosophie naturelle et sur quantité d’autres vérités connues qui, «a d’autres termes, sont dans la bouche de tout le monde. » Le grand mérite des distiques d’Alain, c’est qu’ils donnent à ces vérités connues une forme originale et élégante, . ’■

Le recueil est divisé en six livres.. Le-premier contient les paraboles en dis.tiouesf le second les paraboles en quatre vers, le.trpisième«ellesen sixains, etc., jusqu’au sixième dont tous les morceaux ont douze vers. Ç’.est Alain lui-même qui a imaginé cette division ou plutôt cette progression. Les distiques.ont naturellement une tournure plus vive ; en voici quelques-uns ; L’échanson peut verser à boire à un millier d’hommes ; un seul maître présentera à plusieurs la coupe de la doctrine. — Le mauvais débiteur est comme la mer, qui reçoit tout et ne rend rien. :—.&"s flèches traversent les plus dures cuirassesle mépris et les injures peuvent bien pénétrer jusqu à mon cœur, — Tu ôtes le bois.du feu lorsque tu veux l’éteindre ; si la chair te brûle, retranche-toi les loisirs, le3 vins pt.les mets délicats. — L’eau ne peut apaiser la soif d’un fiévreux ; ainsi la richesse ne peut rassasier le cœur de l’homme> • Les ipjèces ■de dix ou douze vers, où la maxime.morale gagne en développement ce qu’elle perd en concision, sont de petits morceaux, très-travaillés, d une grande élégance latine.., •.

— Les Paraboles de maître Alain étaient célèbres au moyen âge dans Jes écoles ; au xvo et au xvie siècle, elles n’avaient rien perdu do leur vogue. Charles VIII en. fit faire une traduction française. La première imprimée date seulement do. J530. Quant, â- l’original latin, très-répandu d’abord en manuscrit, il s’en fit jusqu’au xviie.siècle de nombreuses éditions {celle de Lyon, 1402, in, -49, es, t la première ; celle de Leipzig, 1663, in-l&iest probablement la dernière). Celle-ci offre cette particularité que l’érudit qui la c, oin.inei}ta place maître Alain auxive siècle* le fait naître en 1305 et assister au concile qui condamna Jeun Hus (HM).Presque toutes les éditions ont un commentaire, une glose sur chaque parabole. Ce livre était aussi fort répandu en Angleterre ; c’est un vers d’Alain que citait Charles IBr tombé du.trône : •...’.. ;

Tulior est locu» in terra quam turribus altit : Qui jacet in terra non habet unde cadat. *

(On est plus sûrement à terre que sûr une tour élevée ; cffiui qui glt à terre n’a plus où tomber.) Ménage, qui à cité ce distitjue, l’attribue sans raison à Ovide, ’,7M !j'

’ PARABOLER v. a. ou tr. (pa-ra-bb-lé).^V.

PARABOLISBR..’, !, ■ !"...i

PARABOLICITÉ s. f. (pa-ra-bo-li-si-térad. parabolique). Géom. Forme parabolique : La pauabolicitb dStn miroir.

PARABOLIQUE adj. (pa-ra-bO-H-ke —rad. parabule). Littér. Qui est fait où dit en Paraboles : Enseignement parabolique."’7(«W.t

PAR4BOL1QDÏSS.. "., .’ ' ’ ",

— Phiiol. Poésie parabolique, .Nom donné par Bacon à toutes les allégories^ a tous.les mythes de l’antiquité.

— Géotn. Qui est de la nature, des paraboles : Ligne parabolique.

■ — Mécan. Qui décrit une parabole : Mouvement PARABOLIQUU. — Physiq. Miroir parabolique, Miroir dont la surface est engendrée par la révolution d’une parabole autour de son axe : Lès miroirs PARABOLIQUES réfléchissent en lignes parallèles tous les rayons partis-de leur foyer-

— Bot. Feuilles paraboliques. Feuilles arrondies vers le sommet et s’élargissant à partir de ce point.

PAR.ABQLIQUEMENTadv.*(pa ; râ-bo-li-keman — rad. parabolique). Littér. En paraboles, par paraboles : Parler parabomqub-

MENT.

— Géom. En décrivant une parabole : Corps qui se meut paraboliquemknt.

PARABOLISÉ, ÉB (pa-ra-bo-H-zé) part, passé du v. Paraboliser. Physiq. Qui a la forme parabolique ; Réflecteur parabolisb.

PARABOLISER v. a. ou tr. (pa-ra-bo-li-zé

— rad ; parabole).’ Physiq. Donner la forme parabolique à : Paraboliser des miroirs.

PARABOLISTE s. m. (pa-rà-bo-li-sterad. parabole). Auteur de paraboles :Le style de Jésus n’avait rien de la période grecque, mais se rapprochait beaucoup du tour des parabolistes hébreux. (Renan.)

PARABOLOÏDAL, ale adj. (pa-ra-bo-Io-idal, a-le — rad. paraboloide}. Géom. Qui a la forme d’un paraboloïde : Surface paraboi. OÏdale.

PARABOLOÏDE s. m. (pa-ra-bo-lo-i-dédu gr. parabole, parabole ; eidos, aspect). Géom. Surface engendrée par une parabole qui se meut d’une certaine manièré. ’ ' ;

— s. f. Nom donné quelquefois aux paraboles de degrés supérieurs.

— Art milit, Excavation formée par ï’.explosion d’une mine.. ■.., .

— Encycl. On nomme paraboloïde la surface engendrée par une parabole glissant sur une autre non contenue dans son plan, — de manière que les deux courbes aient toujours un diamètre commun, le plan de la paraboio mobile restant d’ailleurs toujours parallèle à lui-même, et le point commun aux deux courbes restant fixe sur la parabole mobile. Si les

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