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dépens des colombars. Il Syn. de mérion, antre genre d’oiseaux.
— s. f. Entom. Genre d’insectes coléoptères tétrameres, de la famille des longicornes, tribu des lamiaires, comprenant une quarantaine d’espèces, qui habitent les rég ors tropicales de l’ancien continent et la Nouvelle-Guinée.
SPHÊRACRE s. m. (sfé-ra-kre — du gr. sphitini, sphrre ; akra, sommet). Entom. Syn. de lkptotrachèle.
SPHÉBALCÉE s. f. (sfé-ral-sé — du gr.’ spAaira, sphère, et d’alc’e). Bot. Genre d’arbrisseaux, de la famille des malvacées, tribu des malvées, comprenant plusieurs espèces, qui croissent dans les régions chaudes de l’Amérique.
SPHÉRANTHE s. m. (sfé-ran-te — du gr. sphaira, sphère ; anthos, fleur). Bot. Genre de plantes, de la famille des composées, tribu des astérées, comprenant une douzaine d’espèces, qui croissent dans les régions tropicales de l’ancien continent.
SPHÉRANTHE, ÉE adj. (sfé-ran-té — rad. sphéranlhe). Bot. Qui ressemble ou qui se rapporte au sphéranthe.
— s. f. pi. Section de la tribu des astérées, famille des composées, ayant pour type le genre sphéranthe.
SPHÉRASTRE s. m. (sfé-ra-stre — de sphère, et du gr. aster, étoile). Hist. nat. Genre d’infusoires ou d’algues microscopiques, de la tribu des bacillariées ou des desm’diées, comprenant cinq ou six espèces, qui vivent dans nos eaux douces.
SPHÈRE s. f. (sfè-re — lat. sphzra, gr. sphaira, mots qui représentent le sanscrit spharus, boule, de la racine sanscrite sphar, sphur, se mouvoir, trembler, vaciller, qui est sans doute alliée à la racine spar. Cette dernière racine n’a plus en sanscrit que le sens de vivre, mais elle semble procéder de la notion générale de mouvement et se retrouve dans le grec spairô, aspairâ, trembler, palpiter, s’agiter, se débattre ; le lithuanien spirli, ruer, speray, rapidement ; l’irlandais sparnaim, spaimim, lutter, faire effort, speir, spir, jambe, jarret. Comme le s initial tombe souvent ou s’ajoute comme élément prosthétiq 111-, on peut admettre une racine de mouvement par, conservée en sanscrit sous les formes de pal, pil, pil, aller, se mouvoir, et qui se retrouve encore dans le zend père, au caUsatif faire passer, faire traverser, dans le gri’C peirô, au parfait pepora, le latin propero, je me hâte, et l’ancien slave pariti, prati, voler, etc.). Corps limité par une surface dont tous les points sont à égale distance d’un même point : La circonférence d’une SPHÈRE. Les propriétés de la sphère. La figure de la terre est peu différente d’une sphère. (Laplace.) La surface de la sphère est égale à son diamètre multiplié par la circonférence d’un grand cercle. (Legendie.)
— Fig. Etendue d’autorité, de talent, de connaissances ; étendue d’une action ou d’une influence quelconque, milieu propre : L’Ire /tors de sa sphère. Cela n’est pus dans votre sphère. Il me semble qu’une femme ne doit point sortir de sa sphère pour s’étaler en public et hasarder une pièce médiocre. (Voit.) Tout ce qui sort de la sphère ordinaire nous étonne, (Grimm.) Que d’écoliers ont brillé dans la routine des classes et se sont éclipses dans la vaste sphère des lettres/ (B. de St-P.) Mesurons tes rayons de notre sphère et restons au centre. (J.-J. Rouss.) Le gouvernement a une sphère gui lui est propre ; s’il en sort il usurpe. (Peyrat.) Le mal ne saurait se produite que dans la sphère du bien. (Mme Guizot.) Par les chemins de fer, la sphère des relations s’agrandit. (Mich. Chev.) L’homme est le même dans ta sphère de la pensée que dans celle de l’action. (Uuizot.) La science humaine est circonscrite dans une sphère étroite que notre curiosité dépasse. (J. Simon.) Où domine surtout la fourberie, c’est dans la sphère des relations commerciales. (Toussenel.) Bien de plus avantageux dans ta vie que de rester dans sa sphère. (Giraud.)
Nul à Paris ne se tient dans sa sphère, Dans son métier, ni dans son caractère.
Voltaire.
— Poétiq. Sphères éternelles, Ciel :
Si tu veux t’envoler aux sphères éternelles, Poète aventureux, laisse croitre tes ailes.
L, ACHAMUEAUt)lB.
— Astron. Globe représentant la surface de la terre ou la position apparente des astres dans la voûte céleste. Il Chacune des régions que les anciens astronomes admettaient ilans le ciel : La sphère de Vénus, du Soleil, de Saturne. Il Connaissance des principes de l’astronomie qu’on apprend par le moyen d’une sphère : Etudier ta sphère, ii S’est dit quelquefois pour orbite : La sphère de Vénus, il Sphère armiliaire, Appareil composé de cercles destinés à représenter le ciel et le mouvement des astres. Il Sphère droite, Celle dont l’équateur fait un angle droit avec l’horizon. Il Sphère parallèle, Celle dont l’horizon est parallèle à l’équateur. Il Sphère oblique, Celle dont l’équateur est oblique au plan de l’horizon.
— Physiq. Sphère d’activité, Espace sphérique ou la vertu d’un agent naturel peut d étendre, et hors duquel IL n’a point d’actiou.
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— Akhim. Sphère philosophale, Fourneau qui sert à préparer la pierre.
— Entom. Genre non adopté d’insectes diptères myodaires, de la tribu des muscides.
— Moll. Genre de mollusques acéphales, à coquille globuleuse, supposé voisin des avicules, mais peu connu.
— Encycl. Géom. La surface de la sphère a tous ses points également distants d’un même point. Ce point nécessairement intérieur est le centre de la sphère. Les rayons d’une sphère sont les droites qui peuvent être menées du centre à la surface ; les diamètres sont les droites passant par le centre et terminées des deux côtés à la surface.
Les sections planes de la sphère sont des cercles. En effet, si du centre on abaisse une perpendiculaire sur un plan sécant et qu’on joigne ce même centre à différents points de la courbe d’intersection, les droites ainsi menées seront égales comme rayons ; elles devront donc être également éloignées du pied de la perpendiculaire, ce qui veut dire qu’elles auront elles-mêmes leurs pieds, dans le plan sécant, sur une même circonférence à~ cercle ayant pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère coupée sur le plan sécant. Si l’on désigne par R le rayon de la sphère et par d la distance du plan sécant à son centre, le rayon r du cercle d’intersection sera évidemment
r = V R’ — d* ;
ce rayon diminue donc à mesure que la distance d augmente ; il est le plus grand possible et est égal au rayon même de la sphère lorsque d = 0 ; enfin il devient nul-et le plan sécant devient tangent lorsque d = R. Un cercle dont le plan passe par le centre de la sphère est un grand cercle de cette sphère ; les autres sections en sont des petits cercles.
On nomme pôles d’un cercle de la sphère les extrémités du diamètre perpendiculaire.k son plan. Chacun des pôles d’un cercle est à égale distance de tous les points de la circonférence de ce cercle, soit, d’ailleurs, que la distance se compte en ligne droite ou suivant la circonférence d’un grand cercle issu du pôle. En effet, les distances, comptées en ligne droite, sont les hypoténuses de triangles rectangles égaux, comme ayant un côté de l’angle droit commun, la distance du pôle au plan sécant et les autres côtés égaux, comme rayons d’un même cercle ; quant aux distances comptées, sur la surface de la sphère, le long des grands cercles qui joindraient le pôle aux différents points de la section, ce seraient des arcs de cercles égaux, sous-tendus par des cordes égales.
Le plus court chemin d’un point à un autre sur la surface d’une sphère est l’arc de grand cercle qui joint ces deux points. En effet, il est clair, d une part, que les distances minima du pôle d’un petit cercle à tous les points de ce cercle sont égales’, en raison de la symétrie de la sphère ; cela veut dire que, lorsque la distance^comptée suivant un grand cercle reste la même, sa distance minima reste aussi la même. D’un autre côté, si d’un même point comme pôle, avec des ouvertures différentes de compas, on décrit successivement deux cercles, il est évident que la distance du pôle au cercle décrit avec ta plus grande ouverture de compas sera plus grande que la distance de ce même pôle à l’autre cercle, puisque, pour aller du pôle au premier cercle, il faudrait en tout cas traverser le second. Cette seconde proposition peut s’énoncer de la manière suivante : «Lorsque la distance, comptée suivant le grand cercle, augmente, la distance minima, quelle qu’elle puisse être d’ailleurs, augmente aussi. » Un simple rapprochement entre ces deux propositions élémentaires sufrit pour en tirer la démonstration du théorème principal, Kn efriS. I.
fet, soient A et B deux points de la surface d’une sphère, AB l’arc de grand cercle qui passe par ces deux points, et C un point quelconque de la surface de la sphère ; si l’on prend sur AB une portion AB égale à l’arc de grand cercle AC, le reste DB sera moindre que CB ; or, d’une part le chemin de A en D eût été le même que de A en C, et de l’autre il resterait moins de chemin à faire pour aller de D en B que de C en B ; le plus court chemin ne saurait donc passer par le point C, c’est-à-dire par un point quelconque pris hors de AB.
On nomme triangle sphérique une portion de la surface de la sphère comprise entre trois grands cercles. Les propriétés élémentaires des triangles sphériques se déduisent de celles des angles trièdres (v. trièdre). Ces propriétés sont les suivantes : Dans un triangle sphérique, un côté nuelconque est moindre que la somme des do :.a. autres ; La somme des cô spiie
tés d’un triangle sphérique est moindre qu’une circonférence pntière de grand cercle ; La somme des angles d’un triangle sphérique, c’est-à-dire la somme des angles dièdres des plans des côtés de ce triangle, est comprise entre deux et six droits ; Deux triangles sphériques sont égaux dans toutes leurs parties, c’est-à-dire égaux ou symétriques, lorsqu’ils ont les côtés égaux, ou les angles égaux, ou un côté égal adjacent a deux angles égaux, ou un angle égal compris entre côtés égaux.
Un polygone sphérique est une portion de la sphère comprise entre plusieurs arcs de grands cercles. La somme des côtés d’un polygone sphérique est moindre qu’une circonférence de grand cercle ; un polygone sphérique se décompose en triangles sphériques.
On nomme fuseau sphérique la portion de la surface de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles. Le rapport de deux fuseaux est évidemment celui de leurs angles, c’est-à-dire des angles dièdres formas par les plans.des grands cercles qui les déterminent. Un fuseau est à la sphère entière comme son angle est à quatre droits.
On nomme onglet sphérique la portion de la sphère comprise entre les plans de deux demi-grands cercles. Deux onglets sont entre eux comme leurs angles, et le rapport d’un onglet à la sphère entière est celui de son angle à quatre droits.
Deux triangles sphériques symétriques peuvent être placés de manière que leurs sommets soient deux à deux en lignes droites avec le centre. Les pôles des petits cercles passant par les sommets de l’un et de l’autre triangle se trouvent alors aussi en opposition par rapport au centre. On conclut de cette remarque que deux triangles sphériques symétriques sont équivalents. En effet, si l’on joint respectivement les pôles dont il vient d’être parlé aux sommets des deux triangles, on décompose" ces triangles en triangles encore symétriques deux à deux, mais toutefois superposables, parce qu’ils sont, isocèles. De cette nouvelle proposition, on conclut que, deux demi-grands cercles se coupant dans un même hémisphère, les triangles opposés par le sommet qu’ils déterminent avec le grand cercle qui borne l’hémisphère forment une somme égale au fuseau dont l’angle est l’angle commun. Le complément de l’un des triangles pour former le fuseau est, en effet, le symétrique de l’autre triangle. Enfin, il résulte de 1 ensemble de ces propositions un moyen simple de comparer la surface d’un triangle sphérique quelconque k celle de la sphère entière, ou à la surface du triangle trirectangle qui en est le huitième. Soit ABC
Fig. 2.
un triangle sphérique ; si l’on prolonge les arcs AC et BC jusqu’à leur rencontre avec AB prolongé, .les sommes
ABC + BCD, ABC + CDE et ABC + ACE formeront respectivement les fuseaux dont les angles sont A, C etB ; mais ces trois sommes ajoutées forment la <]emsphère plus deux fois le triangle ABC ; par conséquent
1/2 sphère Jf «ABC = fus A + f us B + fus C ;
d’où
fus A + fus B -j- fus C — 2 fus droits
ABC =
2
fus (A -4- B -f- C — 2 droits) t
et, par conséquent, si l’on désigne par T la triangle trirectangle,
ABC fus (A + B-f C — 2 droits)
T — fus droit
A J- B-|- C — 2 droits
1 droit
C’est ce que l’on exprime habituellement d’une manière abrégée en disant que la mesure d’un triangle sphérique est celle de l’excès de la somme de ses angles sur deux angles droits.
Un polygone sphérique se décompose, par les diagonales menées d’un même sommet, en autant de triangles qu’il y a de côtés moins deux ; on en conclut que la surface d’un polygone sphérique a pour mesure celle de l’excès de la somme de ses angles sur autant de fois deux angles droits qu’il y a do côtés moins deux.
La théorie précédente 3’étend d’elle-même aux volumes compris entre la surface de la sphère et celles des pyramides ayant leurs Sommets au centre ; parce que la mesitro du
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volume d’un corps ainsi déterminé est le produit de la mesure de la surface de base multip iée par le tiers de la mesure du rayon, do sorte que, le tiers de la mesure du rayon restant toujours facteur commun, 1rs volum-s comparés sont entre eux comme leurs bases.
Les théorèmes précédents ont pour objet la comparaison des surfaces ou des volumes sphériques entre eux ; il reste à trouver les formules des mesures absolues de ces surfaces ou de ces volumes.
On nomme zone une portion de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles. La mesure d’une zone est le produit des mesures de sa hauteur et de la circonférence d’un grand cercle ; pour établir ce théorème, il suffit d’en donner la démonstration pour une zone d’une hauteur infiniment petite, car une zone quelconque se décomposera en zones infiniment minces dont les hauteurs s’ajouteront, la circonférence d’un grand cercle restant facteur commun. Or, une zone infiniment mince peut être considérée comme la surface d’un tronc de cône, et l’on sait que cette surface a pour mesure le produit des mesures de sa hauteur et do la circonférence dont le rayon serait la perpendiculaire élevée du milieu de l’arêie et prolongée jusqu’il la hauteur. Cette perpendicufaire, dans le cas dont il s’agit, se confondant avec le rayon de la sphère, le fait en question se trouve établi.
La surface de la sphère entière est une zone dont la hauteur est le diamètre ; par conséquent, la mesure de la surface de la sphère est 2itR X 2R ou 4*R’ ; cette surface est quadruple de celle d’un grand cercle.
On nomme secteur sphérique le volume compris entre la surface d’une zone et celles de deux cônes ayant pour sommet commun le centre de la s/ihère et pour directrices les circonférences de base de la zone. Si l’on imagine la zone décomposée en éléments dont les contours servent de directrices à des cônes ayant leur sommet au centre, le secteur se trouve par là même décomposé en pyramides élémentaires, et, chacune d’elles ayant pour mesure le tiers du produit des mesures de sa base et de sa hauteur ou du rayon, il en résulte que le volume du secteur a pour mesure le tiers du produit des mesures de la zone qui lui sert de base et du rayon, c’est-à-dire 2nR.H x ^R ou -itR’H. 3 3
La sphère entière a pour mesure le tiers du produit des mesures de sa surface et de son
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rayon, c est-k-dire 4itR’ x - R ou -nR.
On nomme segment sphérique une portion du volume de la sphère comprise entre deux plans parallèles. Un segment sphérique est équivalent à la somme d’une sphère qui aurait pour diamètre la hauteur du segment et do deux demi-cylindres ayant cette même hauteur et pour bases les cercles de base du segment.
La sphère est lo corps qui enveloppe le plus grand volume sous une même surface. C’est naturellement le seul corps qui ait pour plans principaux tous les plans passant par un même point, et par conséquent pour axes toutes les droites passant par un même point.
La sphère a pour conjuguées des hypeiboloïdes de révolution à une nappe qui la touchent suivant des grands cercles.
— Sphère osculatrice. Une sphère étant déterminée par quatre points, si l’on prend sur une courbe U double courbure quatre points voisins, que l’on fasse passer une sphère par ces quatre points et que l’on imagine ensuite que trois d’entre eux viennent se confondru avec le premier, la sphère variable qui les contiendra toujours arrivera à un état limite dont la connaissance permettra de déterminer certaines particularités de la courbe nu point considéré. Cette sphère prend le nom de sphère osculatrice de la courbe au point choisi. Le centre de cette sphère est à la rencontre des intersections consécutives des plans normaux à la courbe menée par les milieux des trois arcs qui séparent les quatre points les uns des autres. Or, l’équation d’un plan normal quelconque est
(X — x)da : -f- Ç£ — y)dy + (Z — z)dz = 0, où x, y et z sont les coordonnées du point choisi sur la courbe et X, Y, Z les coordonnées coûtantes ; pour avoir celle d’un plan normal infiniment voisin, il faudrait ilcmner dans la précédente donnée à x, y et z des accroissements infiniment petits ; l’iuterseciiim des deux plans normaux serait d’ailleurs alors donnée par le sy-stème des deux équations ; mais la seconde puurra être remplacée par la différentielle de la première ; si donc on cunsidere x, y et z comme des fonctions d’une variable indépendante t, on pourra prendre pour seconde équajion de l’iiuersectiuu d’S deux premiers pians normaux
(X-s)<iï + n — y}d2y -r- (Z- ;).i’s = rfœJ -t- dy1 -j- dz’ = ds’ ;
enfin, de même, au lieu de l’équation du troisième plan normal, on pourra prendre la différentielle de la précédente
(X-œ)cCï -(- Çi-y)d’y + (Z—z)d’s = idsd’s.
Les valeurs de X, Y et Z tirées des trois équations précédentes seraient les coordonnées du centre de la sphère osculatrice ; mais,
