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L’INTÉGRATION DÉFINIE À L’AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

du continu, il en est de même de l’ensemble des valeurs de $x$ correspondantes.

Ceci posé, si $f(x)$ a toujours une dérivée, et si cette dérivée est nulle, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable de valeurs de $x$, on peut affirmer qu’elle est toujours nulle. C’est le théorème de Scheeffer, dans un cas particulier.

Revenons à la fonction $\varphi (x)$. Est-elle une dérivée ? Les deux théorèmes précédents ne semblent pas fournir facilement une réponse à cette question. Une première méthode consiste dans l’application d’un théorème démontré précédemment ; une fonction dérivée bornée a le même maximum que l’on néglige ou non les ensembles de mesure nulle^[1]. Il n’est pas difficile de démontrer que $\varphi (x)$ n’est différente de zéro que pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle (voir p. 118), $\varphi (x)$ n’est donc pas une fonction dérivée.

Ce résultat peut être obtenu d’une tout autre manière. Une dérivée ne peut pas être discontinue en tout point, et $\varphi (x)$ est discontinue en tout point.

Cette propriété des fonctions dérivées résulte d’un théorème dû à M. R. Baire. $f'(x)$ est la limite, pour ${h=0}$, de la fonction ${r[f(x),x,x+h]}$ continue en $x$ quand $h$ est constant ; c’est donc une fonction de première classe, c’est-à-dire une fonction limite de fonctions continues. Or M. Baire a démontré que si l’on considère une fonction de classe un sur un ensemble parfait quelconque, il existe des points où elle est continue sur cet ensemble parfait ; c’est ce qu’on exprime en disant qu’elle est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait^[2].

III. — L’intégrale déduite des fonctions primitives.

Dans beaucoup de cas nous savons, sans le secours de l’intégration, reconnaître si une fonction donnée est une dérivée et nous pouvons aussi espérer trouver sans intégration la fonction primi-

1. Je rappelle que ce théorème a été obtenu sans l’emploi de l’intégration.
2. Il serait plus exact de dire qu’une fonction de classe un est soit continue, soit tout au plus ponctuellement discontinue sur chaque ensemble parfait et qu’elle est effectivement ponctuellement discontinue sur certains ensembles parfaits.

   Nous démontrerons cette proposition et sa réciproque au Chapitre X.