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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

savons que, s’il s’agit d’une fonction $\psi$, cette intégrale est

$m[\mathrm {E} (\psi =1)]$,

et que, s’il s’agit d’une fonction $f(x)$ quelconque, l’intégrale doit être la limite commune des intégrales de $\varphi$ et $\Phi$ (p. 108) quand le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro. D’après les conditions du problème d’intégration, ces intégrales sont

${\begin{alignedat}{2}\sigma &{}={}&\sum _{i=0}^{i=n-1}&l_{i}\left(m\lbrace \mathrm {E} [f(x)=l_{i}]\rbrace +m\lbrace \mathrm {E} [l_{i}<f(x)<l_{i+1}]\rbrace \right){\text{,}}\\\Sigma &{}={}&\sum _{i=1}^{i=n}\;&l_{i}\left(m\lbrace \mathrm {E} [l_{i-1}<f(x)<l_{i}]\rbrace +m\lbrace \mathrm {E} [f(x)=l_{i}]\rbrace \right){\text{.}}\end{alignedat}}$

Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de ${\varepsilon (b-a)}$ parce que ${\Phi -\varphi }$ est inférieure à $\varepsilon$. Si nous faisons tendre $\varepsilon$ vers zéro, en intercalant entre les $l_{i}$ de nouveaux nombres, alors $\sigma$ croît, $\Sigma$ décroît, ${\Sigma -\sigma }$ tend vers zéro ; donc $\sigma$ et $\Sigma$ ont une même limite.

Soient $\sigma _{1}$, $\Sigma _{1}$ ; $\sigma _{2}$, $\Sigma _{2}$ ; … les sommes obtenues par ce procédé ; soient $\sigma '_{1}$, $\Sigma '_{1}$ ; $\sigma '_{2}$, $\Sigma '_{2}$ ; … les sommes obtenues en faisant tendre $\varepsilon$ vers zéro d’une autre manière^[1] ; soient $\sigma ''_{1}$, $\Sigma ''_{1}$ les sommes obtenues en réunissant les nombres $l_{i}$ donnant $\sigma _{1}$, $\Sigma _{1}$ et $\sigma '_{1}$, $\Sigma '_{1}$ ; soient $\sigma ''_{2}$, $\Sigma ''_{2}$ celles obtenues en réunissant les $l_{i}$ donnant $\sigma _{2}$, $\Sigma _{2}$ ; $\sigma '_{1}$, $\Sigma '_{1}$ ; $\sigma '_{2}$, $\Sigma '_{2}$ ; et ainsi de suite. On a évidemment

${\begin{alignedat}{2}&\sigma _{i}&{}\leqq \sigma ''_{i}\leqq \Sigma ''_{i}\leqq {}&\Sigma _{i}{\text{,}}\\&\sigma '_{i}&{}\leqq \sigma ''_{i}\leqq \Sigma ''_{i}\leqq {}&\Sigma '_{i}{\text{ ;}}\end{alignedat}}$

la seconde de ces inégalités montre que $\sigma '_{i}$ et $\Sigma '_{i}$ ont la même limite que $\sigma ''_{i}$ et $\Sigma ''_{i}$, car nous savons que $\sigma ''_{i}$ et $\Sigma ''_{i}$ ont une limite et que ${\Sigma '_{i}-\sigma '_{i}}$ tend vers zéro. La première montre que cette limite est aussi celle de $\sigma _{i}$ et $\Sigma _{i}$.

La valeur de la limite, c’est-à-dire de l’intégrale, est donc indépendante de la manière dont le maximum de ${l_{i+1}-l_{i}}$ tend vers zéro.

1. Les $l_{i}$ qui donnent $\sigma '_{p}$ et $\Sigma '_{p}$ ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné $\sigma '_{p-1}$ et $\Sigma '_{p-1}$, tandis que les $l_{i}$ donnant $\sigma _{p}$ et $\Sigma _{p}$ contiennent les $l_{i}$ relatifs à $\sigma _{p-1}$ et $\Sigma _{p-1}$.