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Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/137

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L’INTÉGRATION DÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

savons que, s’il s’agit d’une fonction , cette intégrale est

,

et que, s’il s’agit d’une fonction quelconque, l’intégrale doit être la limite commune des intégrales de et (p. 108) quand le maximum de tend vers zéro. D’après les conditions du problème d’intégration, ces intégrales sont

Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de parce que est inférieure à . Si nous faisons tendre vers zéro, en intercalant entre les de nouveaux nombres, alors croît, décroît, tend vers zéro ; donc et ont une même limite.

Soient ,  ; ,  ; … les sommes obtenues par ce procédé ; soient ,  ; ,  ; … les sommes obtenues en faisant tendre vers zéro d’une autre manière[1] ; soient , les sommes obtenues en réunissant les nombres donnant , et ,  ; soient , celles obtenues en réunissant les donnant ,  ; ,  ; ,  ; et ainsi de suite. On a évidemment

la seconde de ces inégalités montre que et ont la même limite que et , car nous savons que et ont une limite et que tend vers zéro. La première montre que cette limite est aussi celle de et .

La valeur de la limite, c’est-à-dire de l’intégrale, est donc indépendante de la manière dont le maximum de tend vers zéro.

  1. Les qui donnent et ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné et , tandis que les donnant et contiennent les relatifs à et .