raisonner uniquement sur l’ensemble des points où , et a fortiori , est positive. Si est de mesure non nulle , sera supérieur à un nombre aux points d’un ensemble de mesure au moins dès que sera assez grand, l’intégrale de sera supérieure à ; et comme est quelconque, la suite des ne peut converger.
Supposons donc de mesure nulle, et enlevons cet ensemble de l’ensemble d’intégration, ce qui ne modifie pas les intégrales des . Nous voici ramenés aux suites croissantes de fonctions toujours finies ayant une limite toujours finie ; donc, si est sommable, la série des intégrales de converge vers l’intégrale de (p. 128) ; si est non sommable, c’est que l’intégrale de la fonction , égale à quand est inférieure à et nulle ailleurs, augmente indéfiniment quand croît indéfiniment ; et comme la limite de surpasse , la suite des intégrales est divergente. Ce qui justifie l’énoncé.
V. — Autres formes de la définition de l’intégrale.
Nous venons de définir l’intégrale et par ses propriétés et par une construction et nous avons obtenu des procédés de calcul des intégrales des fonctions données par des développements en série. Arrivés à ce point il ne sera pas inutile de regarder en arrière et de résumer ce que nous avons fait.
Pour la construction de l’intégrale d’une fonction mesurable bornée définie dans un intervalle, nous avons déduit des conditions de notre problème primitif d’intégration :
a. La valeur de l’intégrale pour les fonctions ne prenant que deux valeurs, zéro et une constante ;
b. Le cas d’intégration terme à terme des séries monotones ou qui deviennent monotones quand on supprime les premiers termes ;
c. Nous avons prouvé que toute fonction mesurable est la somme d’une série de fonctions intégrable terme à terme d’après b.
Il est clair que cette construction de l’intégrale pourra être
