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Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/161

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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

les deux intervalles ,  ; il est clair que est non bornée dans l’un des deux. Ceci étant, pour démontrer que toute fonction finie complètement additive est bornée, il nous suffira donc de considérer le cas où l’extrémité de l’intervalle considéré [1] est un point où une fonction est non bornée et de montrer que ne peut être à la fois finie et complètement additive. Soient , , , … une suite de valeurs croissantes tendant vers . Désignons par , , , … les ensembles de points définis respectivement par

,,,….

Soient , , … les bornes supérieures de respectivement pour les ensembles formés de points de , , …

Si est un ensemble formé de points de et si est la partie commune à et à on a, étant supposée complètement additive,

 ;

puisque n’est pas bornée au point , la série du dernier membre est divergente quel que soit . Elle peut d’ailleurs contenir des termes infinis.

Soit enfin un ensemble formé de points de et pour lequel surpasse le plus petit des deux nombres et  ; la série est divergente. Si l’on partage les en ceux qui donnent à des valeurs positives ou nulles, et ceux pour lesquels a des valeurs négatives, si et désignent respectivement les indices des premiers et des seconds, l’une au moins des séries , est divergente. Supposons que la première soit divergente. Alors on a

,
  1. S’il s’agissait d’une fonction définie seulement pour les ensembles mesurables formés des points d’un ensemble mesurable donné , on étendrait la définition de à tous les ensembles mesurables formés de points d’un intervalle contenant en convenant que, par définition, pour un tel ensemble dont la partie commune avec est , on a  ; et que, si n’existe pas, . On pourra donc toujours supposer qu’il s’agit d’une fonction définie pour tous les ensembles mesurables d’un intervalle .