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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

Choisissons dans l’intervalle ${\delta =(a,b)}$ des valeurs $a_{i}$ croissantes vers $x_{0}$ et des valeurs $b_{i}$ décroissantes vers $x_{0}$ ; soient $\alpha _{i}$ et $\beta _{i}$ les ensembles définis respectivement par

$a_{i-1}\leqq x<a_{i}$,$b_{i}<x\leqq b_{i-1}$

On a

$\textstyle \delta =x_{0}+\sum \alpha _{i}+\sum \beta _{i}$,

les ensembles du second membre étant sans point commun deux à deux, et ${\mathrm {V} _{0}(x_{0})}$ étant nul, on a

$\textstyle \mathrm {V} _{0}(\delta )=\sum \mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum \mathrm {V} _{0}(\beta _{i})$.

Les sommes du second membre étant convergentes, si l’on prend $k$ assez grand on aura, pour ${\delta _{k}=(\alpha _{k},\beta _{k})}$,

$\mathrm {V} _{0}(\delta _{k})=\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\alpha _{i})+\sum _{k+1}^{\infty }\mathrm {V} _{0}(\beta _{i})<\varepsilon$ ;

$\delta _{k}$ sera alors l’intervalle $\mathrm {I}$ que nous cherchons.

Ainsi une fonction complètement additive, définie dans un intervalle ${(a,b)}$, y est continue en tout point si, et seulement si, elle prend une valeur nulle pour tout ensemble formé d’un seul point^[1]. Une intégrale indéfinie est donc continue.

Examinons maintenant quelles sont les propriétés de $\Phi (\delta )$ et $\mathrm {F} (x)$ qui correspondent à celles de $\Psi (\mathrm {E} )$ que nous venons d’envisager.

Une fonction $\Psi (\mathrm {E} )$ étant donnée, une fonction d’intervalle est par cela même donnée ${\Phi (\delta )=\Psi (\delta )}$ ; cette fonction est définie pour tout intervalle positif ou nul, c’est-à-dire réduit à un point. Elle n’a pas en général la même valeur pour un intervalle ouvert

$\alpha <x<\beta$,

et pour l’intervalle fermé correspondant

$\alpha \leqq x\leqq \beta$ ;

ni pour les intervalles à demi fermés

$\alpha <x\leqq \beta$,$\alpha \leqq x<\beta$.

1. Si une telle fonction prend les valeurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, elle prend aussi toute valeur comprise entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$.