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LEÇONS
SUR L’INTÉGRATION
ET LA
RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES

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CHAPITRE I.

L’INTÉGRALE AVANT RIEMANN.

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I. — L’intégration des fonctions continues.

L’intégration a été définie tout d’abord comme l’opération inverse de la dérivation ; c’est l’opération permettant de résoudre le problème des fonctions primitives :

Trouver les fonctions $\mathrm {F} (x)$ qui admettent pour dérivée une fonction donnée $f(x)$.

On sait que, si ce problème est possible, il l’est d’une infinité de manières, et que toutes les fonctions primitives $\mathrm {F} (x)$ d’une même fonction $f(x)$ ne diffèrent que par une constante additive. Ce qu’on se propose, c’est de trouver l’une quelconque des fonctions $\mathrm {F} (x)$.

À l’époque où le problème des fonctions primitives fut posé sous la forme que j’indique, c’est-à-dire à l’époque de Newton et de Leibnitz, le mot fonction avait un sens assez mal défini. On appelait ainsi, le plus souvent, une quantité $y$ liée à la variable $x$ par une équation où intervenait un certain nombre des symboles d’opérations que l’on avait l’habitude de considérer. Les principales de ces opérations étaient : les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines),