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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

points de discontinuité ; inversement, si $\mathrm {F(X)}$ répond à la question, toute fonction à variation bornée, égale à $\mathrm {F(X)}$ en tous les points où elles sont toutes deux continues à la fois, y répond aussi. Nous retrouverons souvent cette indétermination de $\mathrm {F(X)}$ à laquelle il faut tout de suite penser dès qu’on arrive à des conclusions qui semblent contradictoires.

Examinons le passage inverse d’une fonction à variation bornée $\mathrm {F(X)}$ à une fonction d’intervalles définie par les formules

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\leqq x\leqq \mathrm {Y} _{0}\right]=\mathrm {F(Y_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

$\Phi \left[\mathrm {X} _{0}\right]=\mathrm {F(X_{0}+0)-F(X_{0}-0)}$,

et celles qui en résultent pour les ensembles ouverts ou à demi ouverts quand on veut que $\Phi$ soit additive. Nous voulons prouver que la fonction $\Phi$ ainsi obtenue est complètement additive.

Considérons un intervalle ${\Delta =(l\leqq x\leqq m)}$ et divisons-le par un ensemble réductible de points en la famille des intervalles ouverts

$\delta _{i}=(l_{i}<x<m_{i})$

contigus à $\mathrm {E}$ et les points de $\mathrm {E}$, parmi lesquelles se trouvent $l$ et $m$, $x_{1}$, $x_{2}$, …. On aura ainsi la division la plus générale d’un intervalle en parties sans points communs, à ceci près qu’on pourrait réunir $\delta _{i}$ et une ou deux de ses extrémités pour constituer un intervalle demi-fermé ou fermé. La formule à démontrer est donc

$\Phi (\Delta )=\textstyle \sum \Phi (\delta _{i})+\sum \Phi (x_{i})$,

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\mathrm {F} (&m+0)-\mathrm {F} (l-0)\\&=\textstyle \sum [\mathrm {F} (m_{i}-0)-\mathrm {F} (l_{i}+0)]+\sum [\mathrm {F} (x_{i}+0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)]{\text{.}}\end{aligned}}$

Or cette formule résulte (p. 62) de ce que $\mathrm {F}$ est à variation bornée.

Si l’on prend convenablement l’ensemble $\mathrm {E}$, la somme

$\textstyle \sum |\Phi (\delta _{i})|+\sum |\Phi (x_{i})|$

donnera une valeur aussi approchée que l’on veut de la variation totale de $\Phi$ dans $\Delta$. Or cette somme s’écrit

$\textstyle \sum |\mathrm {F} (m_{i}-0)-\mathrm {F} (l_{i}+0)|+\sum |\mathrm {F} (x_{i}+0)-\mathrm {F} (x_{i}-0)|$,

quantité qui s’approche autant qu’on le veut de la variation totale