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L’INTÉGRALE INDÉFINIE DES FONCTIONS SOMMABLES.

suffit d’ajouter à l’ensemble des singularités de ${\mathrm {P} _{1}(x)}$ les points en lesquels ${\mathrm {F} (x)}$ a au moins un saut positif. Donc les ensembles des singularités des variations positive et négative, ${\mathrm {P} (x)}$ et ${\mathrm {N} (x)}$, d’une fonction à variation bornée, ${\mathrm {F} (x)}$, peuvent être pris sans autres points communs que ceux en lesquels ${\mathrm {F} (x)}$ a un saut de droite et un saut de gauche différents de zéro et de signes contraires.

De toute cette analyse il faut retenir surtout qu’une fonction complètement additive d’ensemble mesurable B est absolument continue si, et seulement si, elle a une valeur nulle sur tout ensemble mesurable B de mesure nulle. La fonction est alors prolongeable à tout ensemble mesurable^[1].

1. On comparera cet énoncé avec celui de la page 151.