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CHAPITRE IX.

Supposons donc que les séries ${\varepsilon ^{ip}+\varepsilon ^{in}+\sum _{-\infty }^{+\infty }\varepsilon _{l}}$ et ${\sum _{-\infty }^{+\infty }|l|\varepsilon _{l}}$ soient convergentes et aient des sommes arbitrairement petites $\eta$ et $\zeta$. Et posons la condition :

3^o  Chaque intervalle de la chaîne est enfermé tout entier dans l’ensemble $\mathrm {A}$ qui enferme l’ensemble auquel appartient son origine.

Alors $\Lambda _{l}$ est au plus égale à ${m(\mathrm {E} _{l})+\varepsilon _{l}}$ et au moins égale au plus grand des deux nombres : 0 ou ${m(\mathrm {E} _{l})-\eta }$ ; pour $\Lambda ^{ip}$ on a des limites analogues. De là se déduisent des limites inférieure et supérieure pour $p$ ; la limite inférieure est

$\sideset {}{^{p}}\sum _{0\;\;}^{\infty \;}\left[m(\mathrm {E} _{l})-\eta \right]l\varepsilon +\mathrm {M} \,\left[m(\mathrm {E} ^{ip})-\eta \right]$,

les termes positifs étant seuls conservés dans ${\textstyle \sum }^{p}$.

Cette somme ne contient donc qu’un nombre fini de termes, nombre variable avec $\eta$. Ces termes sont inférieurs à ceux de

$\sum _{0}^{\infty }m(\mathrm {E} _{l})\,l\varepsilon$,

mais tendent respectivement vers ceux-ci pour $\eta$ tendant vers zéro.

Or on peut faire tendre $\eta$ vers zéro, d’où la limite

$\sum _{0}^{\infty }m(\mathrm {E} _{l})\,l\varepsilon +\mathrm {M} \,m(\mathrm {E} ^{ip})$ ;

puis on peut prendre $\varepsilon$ arbitrairement petit, $\mathrm {M}$ arbitrairement grand, donc on a, l’intégrale ayant une valeur finie ou infinie,

$\mathrm {P} \geqq \int _{\mathrm {E} [0<\Lambda f<+\infty ]}\Lambda f\,\mathrm {d} x+\mathrm {M} \,m(\mathrm {E} ^{ip})$,

quel que soit $\mathrm {M}$. $\mathrm {P}$ ne sera donc fini que pour

$m(\mathrm {E} ^{ip})=0$et$\int _{\mathrm {E} [0<\Lambda f<+\infty ]}\Lambda f\,\mathrm {d} x$

finie. Concluons en nous rappelant que l’on aurait pu prendre pour ${\Lambda f(x)}$ l’un quelconque des quatre nombres dérivés, et qu’il y a pour $\mathrm {N}$ une inégalité analogue à celle trouvée pour $\mathrm {P}$.