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LA TOTALISATION.

donc, dans ${(x_{n},\mathrm {X} )}$ l’oscillation de ${\Psi (x)}$ est au plus l’oscillation de ${\mathrm {F} (x)}$ augmentée de ${\eta (\mathrm {X} -x_{n})}$. L’oscillation de ${\Psi (x)}$ dans ${(x_{n},\mathrm {X} )}$ tend donc vers zéro avec la longueur de ${(x_{n},\mathrm {X} )}$.

Il résulte de là en particulier que, lorsqu’on sait déterminer une fonction ${\Phi (x)}$ pour tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ entièrement intérieur à un intervalle ${(a,b)}$,

$a<\alpha <\beta <b$,

on sait en déterminer une pour ${(a,b)}$.

Notons enfin que, si l’on connaît une fonction ${\Phi (x)}$ pour tout intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ contigu à un ensemble fermé ${\mathcal {E}}$,

si la série correspondante ${\textstyle \sum [\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )]}$ est absolument convergente,

si la fonction $f(x)$ est constante à moins de $\eta$ près sur ${\mathcal {E}}$,

on obtient en tout point $x$ de ${(a,b)}$ une fonction ${\Phi (x)}$ à l’aide de l’expression

$\Phi (x)={\sum }_{a}^{x}\left[\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )\right]+f_{0}\,m({\mathcal {E}}_{a}^{x})$ ;

$f_{0}$ est l’une des valeurs prises par $f(x)$ sur ${\mathcal {E}}$ ; les indices $a$ et $x$ indiquent qu’on ne s’occupe que des parties de ${\mathcal {E}}$ et des intervalles contigus à ${\mathcal {E}}$ situés dans ${(a,x)}$.

Il nous suffira de démontrer cette proposition pour ${x=b}$. Pour le faire, couvrons ${(a,b)}$ à partir de $a$ d’une chaîne d’intervalles dont les uns seront des intervalles contigus à ${\mathcal {E}}$ et les autres des intervalles de longueur $\lambda$ au plus, ayant pour origine et extrémité des points $x$, ${x+h}$ de ${\mathcal {E}}$ et tels que l’on ait

$m\leqq r\left[\mathrm {F} (x),x,x+h\right]\leqq \mathrm {M}$,

$m$ et $\mathrm {M}$ étant deux nombres distants de $\eta$ au plus et comprenant entre eux toutes les valeurs prises par $f(x)$ sur ${\mathcal {E}}$. Nous allons évaluer ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$ à l’aide de cette chaîne ; mais auparavant il nous faut remarquer que la série ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$, étendue aux intervalles ${(\alpha ,\beta )}$ contigus à ${\mathcal {E}}$, est absolument convergente, parce que ${\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )}$ diffère de ${\Phi (\beta )-\Phi (\alpha )}$ de ${\eta (\beta -\alpha )}$ au plus.

Ceci étant, les intervalles de la chaîne nous donnent comme contribution dans ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$ :

d’une part, une partie de la somme ${\textstyle \sum [\mathrm {F} (\beta )-\mathrm {F} (\alpha )]}$ conte-