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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

s’applique pour ${a<x\leqq b}$, nous compléterons tout à l’heure la définition pour ${x=a}$.

L’intégrale indéfinie est une fonction à variation bornée. Représentons par ${\mathrm {V} (x)}$ la variation totale de ${\alpha (x)}$ de $a$ à $x$ on a ;

$|\mathrm {F} (l)-\mathrm {F} (m)|=\left\vert \int _{m}^{l}f(x)\,\mathrm {d} [\alpha (x)]\right\vert \leqq \mathrm {M} [\mathrm {V} (l)-\mathrm {V} (m)]$,

$\mathrm {M}$ désignant la limite supérieure du module de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. Donc si l’on partage ${(a,b)}$ en un nombre fini d’intervalles ${(x_{i},x_{i+1})}$ on a

$\textstyle \sum |\mathrm {F} (x_{i+1})-\mathrm {F} (x_{i})|\leqq \mathrm {M} \sum [\mathrm {V} (x_{i+1})-\mathrm {V} (x_{i})]=\mathrm {MV}$.

Cette inégalité démontre la proposition et donne la limite supérieure $\mathrm {MV}$ pour la variation totale de l’intégrale indéfinie.

Lorsque la fonction déterminante est continue, l’intégrale indéfinie est continue. En effet, dans ce cas, ${\mathrm {V} (l)-\mathrm {V} (m)}$ tend vers zéro avec la longueur de ${(m,l)}$ ; donc il en est de même de ${\mathrm {F} (l)-\mathrm {F} (m)}$.

D’une façon plus générale, l’intégrale indéfinie est continue en tout point de continuité de ${\alpha (x)}$. Mais elle est discontinue en $x_{0}$ si ${f(x_{0})}$ est différent de zéro et si ${\alpha (x)}$ admet $x_{0}$ pour point de discontinuité. En effet, $x_{0}$ étant supposé différent de $a$, soient ${\beta (x)}$ et ${\gamma (x)}$ deux fonctions définies comme il suit :

pour ${x<x_{0}}$,

$\beta (x)=\alpha (x)$,$\gamma (x)=0$ ;

en $x_{0}$,

$\beta (x_{0})=\alpha (x_{0}-0)$,$\gamma (x_{0})=\alpha (x_{0})-\alpha (x_{0}-0)$ ;

pour ${x>x_{0}}$

$\beta (x)=\alpha (x)-\alpha (x_{0}+0)+\alpha (x_{0}-0)$, $\qquad \quad \;\gamma (x)=\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)$.

${\beta (x)}$ et ${\gamma (x)}$ sont deux fonctions à variations bornées dont la somme est ${\alpha (x)}$. L’intégrale indéfinie ${\mathrm {F} (x)=\mathrm {A} (x)}$, relative à ${\alpha (x)}$, est donc la somme de celles relatives à ${\beta (x)}$ et ${\gamma (x)}$ ; soient ${\mathrm {B} (x)}$ et ${\mathrm {C} (x)}$. Or ${\mathrm {B} (x)}$ est continue en $x_{0}$, car ${\beta (x)}$ est continue en $x_{0}$ et ${\mathrm {C} (x)}$ est évidemment égale à

une constante $\mathrm {K}$,	pour $x<x_{0}$ ;
$\mathrm {K} +f(x_{0})[\alpha (x_{0})\;\;\,\quad -\alpha (x_{0}+0)]$,	pour» $x=x_{0}$ ;
$\mathrm {K} +f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)]$,	pour» $x>x_{0}$.