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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et si $k$ est une constante, on a

$\mathrm {A} (kf)=k\,\mathrm {A} (f)$.

Cette propriété est évidente pour $k$ entier ou inverse d’un entier ; on arrive ensuite à $k$ commensurable, puis enfin on atteint $k$ quelconque par un passage à la limite uniforme.

Ceci posé, posons ${\alpha (a)=0}$ et, pour ${a<x_{i}\leqq b}$, prenons ${\alpha (x_{i})}$ égale à la limite des ${\mathrm {A} (f)}$ pour la suite décroissante des fonctions continues ${f_{n,x_{i}}(x)}$ égales à 1 de $a$ à $x_{i}$, égales à 0 de ${x_{i}+{\frac {1}{n}}}$ à $b$, linéaire de $x_{i}$ à ${x_{i}+{\frac {1}{n}}}$.

Une fonction continue quelconque dans ${(a,b)}$ peut être approchée autant que l’on veut à l’aide d’une combinaison linéaire de fonction ${f_{n,x_{i}}(x)}$. Formons, en effet, la fonction

${\begin{aligned}g_{n}(x)=f&(\xi _{p})f_{n,x_{p}}(x)+\left[f(\xi _{p-1})-f(\xi _{p})\right]f_{n,x_{p-1}}(x)\\&+\left[f(\xi _{p-2})-f(\xi _{p-1})\right]f_{n,x_{p-2}}(x)\\&+\ldots +[f(\xi _{1})-f(\xi _{2})]f_{n,x_{1}}(x){\text{,}}\end{aligned}}$

pour

$x_{0}=a<\xi _{1}<x_{1}<\xi _{2}<x_{2}<\ldots <x_{p-1}<\xi _{p}<x_{p}=b$ ;

elle est, dans chaque ${(x_{i-1},x_{i})}$, comprise entre ${f(\xi _{i-1})}$ et ${f(\xi _{i})}$ lorsque ${\frac {1}{n}}$ est inférieur à la plus petite différence ${x_{i}-x_{i-1}}$.

Si donc on a choisi les $x_{i}$ de manière que l’oscillation de $f(x)$ soit, dans chaque ${(x_{i-1},x_{i})}$, inférieure à $\varepsilon$, la différence ${f(x)-g_{n}(x)}$ est inférieure à $2\varepsilon$ dès que $n$ est assez grand. Et alors la différence ${\mathrm {A} [f(x)]-\mathrm {A} [g_{n}(x)]}$ sera inférieure à ${2\mathrm {M} \varepsilon }$.

Or nous connaissons la limite $\mathrm {S}$ de ${\mathrm {A} [g_{n}(x)]}$ pour $n$ très grand ; elle s’écrit

${\begin{aligned}\mathrm {S} =f&(\xi _{p})\alpha (x_{p})+\left[f(\xi _{p-1})-f(\xi _{p})\right]\alpha (x_{p-1})\\&+\ldots +\left[f(\xi _{1})-f(\xi _{2})\right]\alpha (x_{1})\end{aligned}}$

ou encore

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {S} &{}={}&&f(\xi _{1})\left[\alpha (x_{1})-\alpha (x_{0})\right]\\&&{}+{}&f(\xi _{2})\left[\alpha (x_{2})-\alpha (x_{1})\right]+\ldots +f(\xi _{p})\left[\alpha (x_{p})-\alpha (x_{p-1})\right]{\text{.}}\end{alignedat}}$

Et par suite ${\mathrm {A} (f)}$ est la limite de la somme précédente, c’est-à-dire que ${\mathrm {A} (f)}$ est l’intégrale de Stieltjès de $f(x)$, prise par rapport à ${\alpha (x)}$. Le théorème de M. Riesz sera démontré, dès que l’on aura vérifié que ${\alpha (x)}$ est à variation bornée.