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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

${\mathrm {S} (x)}$ donne alors naissance à une fonctionnelle de la forme

$\textstyle \sum f(x_{0})[\alpha (x_{0}+0)-\alpha (x_{0}-0)]$,

dont la définition s’applique de suite aux fonctions $f(x)$ discontinues tout aussi bien qu’aux fonctions continues. Quant à l’extension de la fonctionnelle correspondant à ${\mathrm {C} (x)}$, elle ne soulève plus aucune difficulté^[1].

III. — Définition directe de l’intégrale de Stieltjès.

Cette étude des fonctionnelles linéaires fait mieux comprendre la signification des conditions 1I, 2I, …, 6I du problème d’intégration (page 105). Comparons ces conditions aux conditions 1F, 2F, 3F, 4F posées pour les fonctionnelles linéaires (page 269). 3I est identique à 1F ; 6I remplacera 3F ; 2I remplace 4F ; quant à 2F elle se trouve être une conséquence de 4I et 5I. Les conditions 1I, 4I, 5I ne servent qu’à caractériser la fonctionnelle ${\mathrm {A} f(x)}$ relative aux fonctions continues dont il faut faire le prolongement. En somme, l’intégrale d’une fonction continue $f(x)$ étant connue dans tout intervalle où la fonction est donnée, nous aurions pu, au Chapitre VII, nous borner à poser les conditions 1F, 2F, 3F et en déduire le prolongement de l’intégrale en raisonnant comme il y a un instant. Seulement, tandis que pour le prolongement de la fonctionnelle linéaire générale nous avons pu nous borner à prouver que le prolongement était unique, parce que le cas de l’intégrale avait été précédemment examiné, il faudrait maintenant vérifier directement que le prolongement est possible. C’est ce que nous allons faire en nous plaçant dans le cas de l’intégrale de Stieltjès la plus générale ; nous obtiendrons ainsi une définition directe de cette intégrale, d’où celle de l’intégrale ordinaire se déduira en faisant ${\alpha (x)\equiv x}$.

1. Si l’on décompose ${\mathrm {C} (x)}$ en sa fonction des singularités et son noyau
   $\mathrm {C} (x)=\mathrm {C} _{s}(x)+\mathrm {AC} (x)$,

   la fonctionnelle relative à ${\mathrm {AC} (x)}$ s’écrit ${\int _{a}^{b}f(x).{'\!\mathrm {AC} (x)}\,\mathrm {d} x}$ ; seule la fonctionnelle relative à ${\mathrm {C} _{s}(x)}$ exige l’emploi des intégrales de Stieltjès (Fréchet, Comptes rendus du Congrès des Sociétés savantes en 1913).