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L’INTÉGRALE DE STIELTJÈS.

on définit la mesure extérieure de $\mathrm {E} _{x}$ par la limite inférieure des sommes ${\textstyle \sum \delta \alpha }$ relatives aux ensembles d’intervalles enfermant $\mathrm {E} _{x}$. La mesure de ${(a,b)}$ diminuée de la mesure extérieure du complémentaire $\mathrm {F} _{x}$ de $\mathrm {E} _{x}$ donne la mesure intérieure de $\mathrm {E} _{x}$. On voit de suite que la première de ces mesures est au moins égale à la seconde ; ces deux mesures sont égales pour les ensembles mesurables par rapport à ${\alpha (x)}$ et seulement pour eux. Bref pour ${\alpha (x)}$ non décroissante, la théorie de la mesure par rapport à ${\alpha (x)}$ se construit identiquement comme celle de la mesure ordinaire, c’est-à-dire de la mesure pour ${\alpha (x)\equiv x}$.

Mais si ${\alpha (x)}$ est seulement à variation bornée, la condition 1^o ne peut être conservée puisqu’elle n’est même plus vérifiée pour tous les intervalles. Nous la remplacerons par la suivante :

1′ La mesure d’un ensemble par rapport à une fonction non décroissante est positive ou nulle.

La mesure d’un ensemble par rapport à ${\alpha (x)}$ est au plus égale en valeur absolue à la mesure du même ensemble par rapport à la variation totale ${v(x)}$ de ${\alpha (x)}$.

Si $\mathrm {E} _{x}$ est un ensemble, enfermons-le dans des suites ${\mathcal {E}}_{x}^{1}$, ${\mathcal {E}}_{x}^{2}$, … d’ensembles d’intervalles ouverts tels que les sommes ${{\textstyle \sum }^{1}\delta v}$, ${{\textstyle \sum }^{2}\delta v}$, … correspondantes tendent vers la plus petite valeur possible. Soit ${\mathcal {E}}_{x}^{ij}$ l’ensemble commun à ${\mathcal {E}}_{x}^{i}$ et ${\mathcal {E}}_{x}^{j}$ ; comme ${\mathcal {E}}_{x}^{ij}$ enferme $\mathrm {E} _{x}$ il fournit une somme ${{\textstyle \sum }^{ij}\delta v}$ telle que ${{\textstyle \sum }^{i}\delta v-{\textstyle \sum }^{ij}\delta v}$, ${{\textstyle \sum }^{j}\delta v-{\textstyle \sum }^{ij}\delta v}$ tendent vers zéro quand $i$ et $j$ augmentent indéfiniment tous deux. Or les trois ensembles ${\mathcal {E}}_{x}^{i}$, ${\mathcal {E}}_{x}^{j}$, ${\mathcal {E}}_{x}^{ij}$ fournissent des sommes d’accroissements de ${\alpha (x)}$ telles que l’on ait

${\begin{aligned}\textstyle \left\vert {\sum }^{i}\delta \alpha -{\sum }^{ij}\delta \alpha \right\vert &\leqq \textstyle {\sum }^{i}\delta v-{\sum }^{ij}\delta v{\text{,}}\\\textstyle \left\vert {\sum }^{j}\delta \alpha -{\sum }^{ij}\delta \alpha \right\vert &\leqq \textstyle {\sum }^{j}\delta v-{\sum }^{ij}\delta v{\text{.}}\end{aligned}}$

Donc les nombres ${{\textstyle \sum }^{i}\delta \alpha }$ convergent quand $i$ augmente indéfiniment ; leur limite est ce qu’on appelle la mesure extérieure, par rapport à ${\alpha (x)}$ de $\mathrm {E} _{x}$. La mesure intérieure de $\mathrm {E} _{x}$ est la mesure de ${(a,b)}$ diminuée de celle du complémentaire $\mathrm {F} _{x}$ de $\mathrm {E} _{x}$.

Or supposons $\mathrm {E} _{x}$ mesurable par rapport à ${\alpha (x)}$ et enfermons $\mathrm {F} _{x}$ dans une suite d’ensembles d’intervalles — les ensembles ${\mathcal {F}}_{x}^{i}$, fournissant des sommes ${\sigma ^{i}\delta v}$ et ${\sigma ^{i}\delta \alpha }$ — tels que les parties communes à ${\mathcal {E}}_{x}^{i}$ et ${\mathcal {F}}_{x}^{i}$ fournissent une somme ${\tau ^{i}\delta v}$ tendant vers zéro quand $i$ croît. Alors la somme ${\tau ^{i}\delta \alpha }$ fournie par ces parties communes tend