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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.
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Des raisonnements analogues permettraient de démontrer que les opérations effectuées aux pages 30 et 31 sur des fonctions intégrables donnent des fonctions à variation bornée quand elles sont effectuées sur des fonctions à variation bornée.

Mais il n’est pas vrai qu’une série uniformément convergente de fonctions à variation bornée donne nécessairement une fonction à variation bornée. La propriété qui remplace celle-là est la suivante :

La limite vers laquelle tend (uniformément ou non) une suite de fonctions à variations totales au plus égales à est une fonction dont la variation totale est au plus égale à .

En effet, prenons une division de l’intervalle ; la variation correspondante pour les termes de la suite tend vers la variation relative à la fonction limite et à la division employée ; donc, cette variation est au plus égale à et il en est de même de la variation totale de la fonction limite.

Ce qui précède nous permettrait de citer des fonctions à variation totale bornée. Une fonction croissante est, en effet, une fonction à variation totale finie et égale à  ; de même, une fonction décroissante est à variation bornée. Par suite, la différence de deux fonctions croissantes est une fonction à variation bornée. Nous allons démontrer maintenant la réciproque : toute fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions jamais décroissantes.

Reprenons la variation

,

et soient la somme de ceux des accroissements qui sont positifs et la somme de ceux qui sont négatifs. On a évidemment

,,

d’où

,,

est la variation positive pour la division choisie, la variation négative. Les deux dernières égalités montrent que les limites supérieures , , , de , , , que l’on appelle variation totale,