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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

$\Delta _{2}$, …, pour lesquelles les $\lambda$ tendent vers zéro, et soit $\lambda _{j}$ la valeur de $\lambda$ pour $\Delta _{j}$. Le maximum de l’oscillation de $f(x)$ dans un intervalle d’étendue $\lambda _{j}$ est un nombre $\varepsilon _{j}$ qui tend vers zéro avec $\lambda _{j}$. Comparons les variations $v_{i}$, $v'_{j}$ relatives à $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$.

Les intervalles de $\Delta _{j}$ étant toujours partagés en deux classes, soient $d'$ ceux qui ne contiennent aucun des points de division de $\mathrm {D} _{i}$. Considérons tous ceux des $d'$ qui sont entre $x_{i}$ et $x_{i+1}$, ils couvrent un intervalle dont l’origine $\mathrm {O} _{i}$ est entre $x_{i}$ et ${x_{i}+\lambda _{j}}$ et dont l’extrémité $\mathrm {E} _{i}$ est entre ${x_{i+1}-\lambda _{j}}$ et $x_{i+1}$. Les valeurs de $f(x)$ pour cette origine et cette extrémité diffèrent de $\varepsilon _{j}$ au plus des nombres $f(x_{i})$, $f(x_{i+1})$. La contribution dans $v'_{j}$ des intervalles considérés est donc au moins

$\left\vert f(\mathrm {E} _{i})-f(\mathrm {O} _{i})\right\vert \geqq \left\vert f(x_{i+1})-f(x_{i})\right\vert -2\varepsilon _{j}$,

et la contribution de tous les $d'$ dans $v'_{j}$ est au moins égale à

$\sum \left[\left\vert f(x_{i+i})-f(x_{i})\right\vert -2\varepsilon _{j}\right]=v_{i}-2n\varepsilon _{j}$,

si les points de division de $\mathrm {D} _{i}$ sont en nombre $n$. On a, à plus forte raison,

$v'_{j}\geqq v_{i}-2n\varepsilon _{j}$,

et l’une quelconque des limites des $v'_{j}$ est au moins égale à l’une quelconque des limites des $v_{i}$. Mais on peut permuter $v'_{j}$ et $v_{i}$, donc les $v'_{j}$ et les $v_{i}$ tendent vers une même limite bien déterminée.

La proposition annoncée est donc démontrée ; pour en bien préciser la portée, il convient de l’énoncer ainsi : la variation $v$ d’une fonction continue $f(x)$, pour une division de l’intervalle considéré en intervalles partiels de longueurs inférieures à $\lambda$, diffère de la variation totale $\mathrm {V}$ de $f(x)$ au plus d’un infiniment petit $\theta (\lambda )$, si $\mathrm {V}$ est fini, et, si $\mathrm {V}$ est infini, $v$ est supérieur à un infiniment grand $\Theta (\lambda )$.

Ceci exprime que $v$ tend vers sa limite, $\mathrm {V}$, finie ou non, avec une sorte d’uniformité.

Dans les conditions considérées, les deux nombres $p$ et $-n$ attachés à la division considérée, et qui sont respectivement la somme des accroissements positifs et la somme des accroissements négatifs donnés par les intervalles partiels, tendent vers leurs limites $\mathrm {P}$ et $-\mathrm {N}$ avec le même genre d’uniformité.