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CHAPITRE IV.
Voici une conséquence immédiate de cette propriété : les trois variations totales d’une fonction continue à variation bornée sont des fonctions continues. Il suffit de le démontrer pour 
puisque 
et 
s’expriment immédiatement à l’aide de 
et de .
Pour calculer 
, j’emploie une division 
, 
, …, 
, 
; la variation 
correspondant à cette division est égale à celle correspondant à 
, , …, plus 
, est donc au plus égale à
,
car est croissante ; et, puisque 
tend vers zéro quand on fait tendre vers zéro le maximum des 
, la valeur est au plus égale à 
. Mais est une fonction croissante, donc on a
,
la fonction est continue à gauche.
Étudions la variation totale de 
entre 
et 
, (
) ; cette variation totale est évidemment égale à
.
Considérée comme fonction de , elle est continue à gauche de 
; donc, en tant que fonction de 
, elle est continue à droite de . La fonction est donc continue.
La seconde partie de cette démonstration suppose essentiellement que la fonction est à variation bornée. Si devenait brusquement infinie pour 
, et nous verrons que cela est possible, le symbole 
n’aurait aucun sens pour .
Puisque et sont des fonctions continues, toute fonction continue à variation bornée est la différence de deux fonctions continues non décroissantes.
La variation , pour la division 
, a été définie seulement dans le cas où ne contient qu’un nombre fini d’intervalles ; pour la suite, il est utile d’étudier un cas où comprend une infinité d’intervalles. C’est le cas où les points de division de forment un ensemble fermé réductible 
; alors nous appellerons varia-
