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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

tion $u$, pour cette division, la somme de la série ${\textstyle \sum \left\vert f(x_{i})-f(y_{i})\right\vert }$, étendue à tous les intervalles ${(y_{i},x_{i})}$ contigus^[1] à $\mathrm {E}$.

Nous allons comparer l’ensemble des variations $u$ qui viennent d’être définies à l’ensemble des variations $v$ antérieurement définies^[2].

L’ensemble des $u$ contient, quand on fait varier l’ensemble réductible $\mathrm {E}$, l’ensemble des $v$ ; donc la limite supérieure de l’ensemble des $u$ est au moins égale à la limite supérieure de l’ensemble des $v$. Il suffira de démontrer que $u$ est toujours inférieure à la variation totale pour qu’il soit prouvé que la limite supérieure des $u$ est la variation totale $\mathrm {V}$.

Soit ${(\alpha ,\beta )}$ un intervalle contigu à $\mathrm {E} '$. Soient $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}$ deux points de $\mathrm {E}$ situés dans ${(\alpha ,\beta )}$ ; la contribution de la partie de $\mathrm {E}$ située dans ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$ pour le calcul de $u$ est au plus égale à celle qu’elle fournit dans $\mathrm {V}$, puisque $\mathrm {E}$ ne contient qu’un nombre fini de points dans ${(\alpha _{1},\beta _{1})}$. Faisons tendre les points $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}$ vers $\alpha$ et $\beta$, la proposition reste vraie et l’on trouve que ${(\alpha ,\beta )}$ fournit dans $\mathrm {V}$ une contribution au moins égale à celle qu’il donne dans $u$. Si, dans ${(\alpha ,\beta )}$, il n’y avait pas de points de $\mathrm {E}$ voisins de $\alpha$, il faudrait prendre $\alpha _{1}$ en $\alpha$ et l’on opérerait d’une façon analogue si, dans ${(\alpha ,\beta )}$, il n’y avait pas de points de $\mathrm {E}$ voisins de $\beta$.

On prouvera de même que la proposition est vraie dans un intervalle contigu à $\mathrm {E} ''$, ou $\mathrm {E} '''$, … ; mais l’un des dérivés de $\mathrm {E}$ étant nul dans ${(a,b)}$, la proposition est vraie pour ${(a,b)}$.

Ainsi les $u$ peuvent remplacer les $v$.

Lorsqu’il s’agit d’une fonction continue, le nombre $u$, comme le nombre $v$, tend uniformément vers la variation totale, quand le maximum $\lambda$ de la longueur des intervalles contigus à $\mathrm {E}$ tend vers zéro.

Soit, en effet, une division $\mathrm {D}$ correspondant à un ensemble fermé et réductible $\mathrm {E}$ et à un certain maximum $\lambda$. En choisissant convenablement un nombre fini de points de $\mathrm {E}$, j’ai une division $\mathrm {D} _{1}$ correspondant au plus au maximum $2\lambda$. Soient $u$ et $v_{1}$ les varia-

1. Un intervalle ${(y_{i},x_{i})}$ est dit contigu à un ensemble $\mathrm {E}$ s’il ne contient pas de points de $\mathrm {E}$ et si ses extrémités font partie de $\mathrm {E}$ ou de $\mathrm {E} '$. La dénomination d’intervalle contigu est due à M. R. Baire.
2. Puisque nous n’avons pas encore prouvé que la série définissant $u$ est convergente, il n’est pas exclu qu’une variation $u$ ait pour valeur $+\infty$.