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CHAPITRE IV.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

tions $\delta _{x}$, $\delta _{y}$, $\delta _{z}$ de ce côté sur les axes, et de longueur au plus égale à ${\delta _{x}+\delta _{y}+\delta _{z}}$. Mais la somme des projections $\delta _{x}$ est la variation $v_{x}$ de la fonction $x(t)$ pour les valeurs de $t$ correspondant aux sommets^[1]. La longueur du polygone est donc supérieure à $v_{x}$ ; elle est, de même, supérieure à $v_{y}$ ou à $v_{z}$, mais elle est inférieure à ${v_{x}+v_{y}+v_{z}}$ ; la propriété est démontrée.

De plus la longueur de l’arc de $t_{0}$ à $t$ ($t>t_{0}$) d’une courbe rectifiable est une fonction continue non décroissante de $t$, puisque l’accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque, est compris entre les accroissements de $v_{x}$ et ${v_{x}+v_{y}+v_{z}}$.

Pour calculer la longueur d’une courbe, on pourra se servir de polygones ayant une infinité de sommets correspondant à des valeurs de $t$ formant un ensemble réductible ; car le raisonnement du début s’applique à ces polygones.

Une courbe rectifiable plane est quarrable, car si on la divise en $n$ morceaux de longueur égale à ${\frac {s}{n}}$, chacun d’eux peut être enfermé dans une circonférence de rayon ${\frac {s}{2n}}$, et la somme ${\frac {\pi s^{2}}{4n^{2}}}$ des aires de ces cercles tend vers zéro avec ${\frac {1}{n}}$.

Supposons que $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ aient des dérivées intégrables ; alors $|x'(t)|$, $|y'(t)|$, $|z'(t)|$ sont aussi intégrables, car on peut écrire

${x'}^{2}=u$,$|x'|=+{\sqrt {u}}$,

et si l’on élève au carré ou si l’on prend la racine carrée arithmétique d’une fonction intégrable, on ne cesse pas d’avoir des fonctions intégrables.

Si $l$, $m$, $n$, $\mathrm {L}$, $\mathrm {M}$, $\mathrm {N}$ sont les limites inférieures et supérieures de $|x'|$, $|y'|$, $|z'|$ dans un intervalle ${(t_{1},t_{2})}$, les sommes telles que ${\textstyle \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {L} -l)}$, étendues à une division quelconque de ${(a,b)}$ en intervalles partiels, tendent vers zéro quand les intervalles employés tendent vers zéro.

La corde ${(t_{1},t_{2})}$ a une longueur $\delta$ qui vérifie les inégalités

$a=(t_{2}-t_{1}){\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}\leqq \delta \leqq (t_{2}-t_{1}){\sqrt {\mathrm {L} ^{2}+\mathrm {M} ^{2}+\mathrm {N} ^{2}}}=\mathrm {A}$.

1. La courbe ${x=x(t)}$, ${y=0}$, ${z=0}$, qui sert dans ce raisonnement, est dite la projection sur $ox$ de la courbe donnée ; la projection sur $xoy$ est ${x=x(t)}$, ${y=y(t)}$, ${z=0}$.