représentent la courbe donnée et ces fonctions de sont des fonctions continues à nombres dérivés au plus égaux à 1.
L’étude des courbes rectifiables, et par suite celle des fonctions à variation bornée, est donc intimement liée à l’étude des fonctions à nombres dérivés bornés. Nous aurons l’occasion de nous servir de cette remarque.
Il existe d’ailleurs des fonctions continues à variation bornée et à nombres dérivés non bornés, la fonction en est un exemple.
Les fonctions dont nous venons de nous occuper sont définies dans tout un intervalle, mais il est clair que les notions de dérivée et de nombres dérivés s’étendent de suite à une fonction définie seulement pour les points d’un ensemble, ou considérée seulement pour les points d’un ensemble. La fonction (p. 15) est discontinue en tout point ; elle admet cependant une dérivée nulle sur l’ensemble des nombres rationnels aux points rationnels et une dérivée nulle sur l’ensemble des nombres irrationnels aux points irrationnels.
III. — Fonctions déterminées par un de leurs nombres dérivés.
Revenons à la recherche des fonctions primitives. Le problème :
A. Trouver une fonction dont la dérivée soit une fonction donnée,
n’admet pas en général de solution. Aussi le remplace-t-on par deux autres :
B. Reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée.
C. Trouver une fonction connaissant sa dérivée.
À ces problèmes correspondent les suivants :
A′. Trouver une fonction dont le nombre dérivé supérieur à droite (ou l’un des autres nombres dérivés) est donné.
B′. Reconnaître si une fonction donnée est le nombre dérivé supérieur à droite d’une fonction inconnue.
