et du multiplicateur
ainsi l’on satisfera à l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (h,\psi )={\frac {1}{p\mu }}\operatorname {F} (k,\omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9148f0f2564284cdd4cd87942967f2fddbf4f37d)
au moyen de la formule
![{\displaystyle \sin .\omega =p\mu \sin .\psi \Pi \left({\frac {1+\sin .^{2}\psi \operatorname {tang} .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {H} ',h'\right)}{1+h^{2}\sin .^{2}\psi \cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {H} ',h'\right)}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0b4f657b523ffced97cf294663620703c70efa)
et simultanément à l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d718576b17c69acb1b56bd87ee0bd1c09486f15)
au moyen de la première formule (3), savoir :
![{\displaystyle \sin .\psi ={\frac {\sin .\varphi }{\mu }}\Pi \left({\frac {1-{\frac {\sin .^{2}\varphi }{\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}}{1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cecba9a86da3f6bd5175f1d9d2e46eed41ea3cc)
Si donc on substitue cette valeur de
dans celle de
et qu’on élimine
entre les deux autres équations, on aura une valeur de
en fonction rationnelle de
qui satisfera à l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (k,\omega )=p\operatorname {F} (k,\varphi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f1ffac4b8ab63ee01b8fdf31edb826803b47c1)
Ce sera le sinus de l’amplitude d’un multiple impair quelconque de la fonction donnée ; mais cette expression renfermera les quantités irrationnelles
et
qui sont étrangères à la question ; et pour chaque valeur particulière de
elle devra se réduire à une fonction rationnelle, non-seulement par rapport au sinus de