en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle fx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(1-\beta ^{2}\right)e^{-\alpha ^{2}}d\alpha }{1-2\beta \cos .2(2r\alpha +x)+\beta ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6171de73b7a59c4810e066a889f8c7f4526ba8)
Maintenant, soit
étant une quantitité positive et infiniment petite. L’expression de
se réduira d’abord à
![{\displaystyle fx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma e^{-\alpha ^{2}}d\alpha }{\gamma ^{2}+4\cos .^{2}(2r\alpha +x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4fca226b0e990d4c3032f2acd75e4fca238cb2)
De plus, le coefficient de
sous le signe
étant infiniment petit, excepté pour les valeurs de
qui rendent
infiniment petit, on pourra r’étendre l’intégration qu’à ces valeurs ; en désignant donc par
un nombre entier, positif, négatif ou zéro, et faisant
![{\displaystyle 2\alpha r+x={\frac {2i+1}{2}}\pi +u,\qquad d\alpha ={\frac {du}{2r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd9eec404ba10737efdd16f0afcebdf366c691b)
on pourra considérer la variable
comme une quantité infiniment petite, positive ou négative. D’après cela nous aurons
![{\displaystyle fx={\frac {1}{2r}}e^{\frac {-x^{2}}{4r^{2}}}\sum e^{\frac {-(2i+1)^{2}\pi ^{2}}{16r^{2}}}e^{\frac {(2i+1)^{2}\pi x}{4r^{2}}}\int {\frac {\gamma du}{\gamma ^{2}+4u^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3f4c5f8aad742698748151dff27e9180596d69)
la somme
s’étendant à toutes les valeurs de
et les limites de l’intégrale, l’une positive et l’autre négative, étant toutes deux infiniment petites. Mais à cause que cette intégrale est aussi infiniment petite, dès que
a acquis une grandeur finie, on n’en altèrera pas la valeur en l’étendant à des limites finies, ni même en la prenant, si l’on veut, depuis
jusqu’à
ce qui donne