Écrivant donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X} =e^{x}-e^{2x}=0\\&{\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=e^{x}-2^{n}e^{2x}\\&{\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n+1}}}=e^{x}-2^{n+1}e^{2x}\\&{\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=e^{x}-2^{n+2}e^{2x},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12a4b958b80d4e5f815c684bebd507b026c136b)
et posant l’équation
ou
on en tire la valeur de
pour la substituer dans les deux valeurs de
et
Par cette élimination, on trouve
![{\displaystyle {\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=-2^{n}e^{2x},\qquad {\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=-2^{n+1}.e^{2x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02ba081b26f498621e5eacd682f52f095a0c468)
et l’on détermine la valeur du produit
qui est
L’auteur en conclut que toute racine réelle de l’équation intermédiaire
étant substituée dans l’équation qui précède et dans celle qui suit, donne deux résultats de signes contraires : c’est cette conclusion que l’on ne peut pas admettre. En effet, si la valeur réelle de
qui rend nulle la fonction intermédiaire
réduit à zéro le facteur
commun aux deux termes, cette même valeur de
étant substituée dans la fonction qui précède, savoir
et dans celle qui suit, savoir
réduira l’une et l’autre à zéro. Les deux résultats ne sont donc point de signes différents, ils sont les mêmes. Pour que l’un des résultats fût positif et l’autre négatif, il faudrait ne considérer parmi les racines réelles de l’équation ![{\displaystyle e^{x}-2^{n+1}.e^{2x}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed082c9c3573d691b8369fbf28631c173c57b3c9)