Faisant
on trouve la fonction transcendante
qui est l’objet de la question.
Nous allons maintenant démontrer que l’équation algébrique
dont
est l’inconnue, n’a que des racines réelles ; et nous prouverons qu’il s’en suit nécessairement que l’équation trancendante
dont
est l’inconnue, a aussi toutes ses racines réelles.
Pour reconnaître la nature des racines de l’équation algébrique
nous appliquerons les théorèmes que l’on vient de rappeler.
La fonction
étant désignée par
on trouve que
satisfait à l’équation différentielle
ce dont on peut s’assurer par la différentiation. On conclud de cette dernière équation les suivantes,
(e)
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Cette relation récurrente se reproduit autant de fois que la fonction y peut être différentiée sans devenir nulle, en sorte qu’il y a un nombre
de ces équations (e). Si actuellement on suppose, dans chacune des équations (e), que le second terme est rendu nul par la substitution d’une certaine va-