.
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(8)
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en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {U} =\cos .l\alpha '\cos .\alpha (x+k-h),\qquad \mathrm {V} =\cos .k\alpha \cos .\alpha '(x-l-h)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7786c2644a3fa5560953399c66902ca9613c5392)
et il ne restera plus qu’à déterminer les coefficients
et
en fonctions de
d’après les données initiales du système.
(4) Pour y parvenir, observons qu’on a identiquement
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(9)
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et, en particulier,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{2}{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=a'^{2}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}},\qquad \mathrm {U=V} ,\quad {\text{pour}}\quad x=h\,;\\&{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=0,\quad {\text{pour}}\quad x=h-k\,;\\&{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=0,\quad {\text{pour}}\quad x=h+l.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8e2b967057266a0bb95c3566d5c9e01849565a)
Cela posé, multiplions la première équation (3) par
puis intégrons ses deux membres dans toute la hauteur du fluide supérieur ; nous aurons
![{\displaystyle {\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\int _{h-k}^{h}u\mathrm {U} dx=a^{2}\int _{h-k}^{h}\left[{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)u\right]\mathrm {U} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cea1b14c7ad4521cb0c16742663645d31fe070)
En intégrant par partie et ayant égard aux conditions relatives à la première limite
on aura
![{\displaystyle \int _{h-k}^{h}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\mathrm {U} dx=\left({\frac {du}{dx}}\mathrm {U} \right)-\left(u{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\right)+\int _{h-k}^{h}{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}udx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9c746d0fcbca5a2baf847578e78c4cf9c1b6ee)