Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/562

la quantité $\mathrm {E} \cos .\lambda t+\mathrm {F} \sin .\lambda t$ soit une fonction périodique pour toutes les valeurs de $\lambda ,$ ce qui n’aurait pas lieu si $\lambda$ avait des valeurs imaginaires, pour lesquelles cette quantité se changerait en une fonction exponentielle. Mais au moyen de l’’équation (12), on peut prouver que les valeurs de $\alpha ^{2}$ et $\alpha '^{2}$ sont aussi toutes réelles.

En effet, les équations (5) donnent

$\alpha '^{2}={\frac {a^{2}\alpha ^{2}}{a'^{2}}}+{\frac {a^{2}-a'^{2}}{a'^{2}}}(\beta ^{2}+\gamma ^{2}).$

À cause de $a>a',$ la quantité $\alpha '$ sera réelle pour toutes les valeurs réelles de $\alpha .$ En substituant pour $\alpha ',$ la racine carrée de cette formule dans les expressions de $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} ,$ elles ne contiendront plus d’autre inconnue que $\alpha ,$ et ne renfermeront explicitement aucune quantité imaginaire. Si $\alpha$ a des valeurs imaginaires dont la partie réelle ne soit pas nulle, on pourra représenter deux d’entre elles par $p\pm q{\sqrt {-1}}\,;$ $p$ et $q$ étant des quantités réelles qui ne sont zéro, ni l’une, ni l’autre. Or, on pourra aussi supposer, dans l’équation (12), que les quantités $\mathrm {U} '$ et $\mathrm {V} '$ répondent à l’une de ces valeurs de $\alpha ,$ à $\alpha =p+q{\sqrt {-1}},$ par exemple, et que $\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V} _{1}$ répondent à l’autre valeur $\alpha =p-q{\sqrt {-1}}\,;$ alors ces quatre quantités seront de la forme :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {U} '=&\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {V} '=&\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {U} _{1}=&\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {V} _{1}=&\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\end{alignedat}}$

$\mathrm {P,Q,R,S} ,$ étant des fonctions réelles de la variable $x\,;$ et, cela étant, l’équation (12) deviendra

${\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}\mathrm {\left(P^{2}+Q^{2}\right)} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}\mathrm {\left(R^{2}+S^{2}\right)} dx=0.$