la quantité
soit une fonction périodique pour toutes les valeurs de
ce qui n’aurait pas lieu si
avait des valeurs imaginaires, pour lesquelles cette quantité se changerait en une fonction exponentielle. Mais au moyen de l’’équation (12), on peut prouver que les valeurs de
et
sont aussi toutes réelles.
En effet, les équations (5) donnent
![{\displaystyle \alpha '^{2}={\frac {a^{2}\alpha ^{2}}{a'^{2}}}+{\frac {a^{2}-a'^{2}}{a'^{2}}}(\beta ^{2}+\gamma ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81b29c5245c342bbb6727e549e669e8205b29cf)
À cause de
la quantité
sera réelle pour toutes les valeurs réelles de
En substituant pour
la racine carrée de cette formule dans les expressions de
et
elles ne contiendront plus d’autre inconnue que
et ne renfermeront explicitement aucune quantité imaginaire. Si
a des valeurs imaginaires dont la partie réelle ne soit pas nulle, on pourra représenter deux d’entre elles par
et
étant des quantités réelles qui ne sont zéro, ni l’une, ni l’autre. Or, on pourra aussi supposer, dans l’équation (12), que les quantités
et
répondent à l’une de ces valeurs de
à
par exemple, et que
et
répondent à l’autre valeur
alors ces quatre quantités seront de la forme :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {U} '=&\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {V} '=&\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {U} _{1}=&\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {V} _{1}=&\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b5f737d8ac3578974430be9eebbea7d5fc7bca)
étant des fonctions réelles de la variable
et, cela étant, l’équation (12) deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}\int _{h-k}^{h}\mathrm {\left(P^{2}+Q^{2}\right)} dx+{\frac {1}{a'^{2}}}\int _{h}^{h+l}\mathrm {\left(R^{2}+S^{2}\right)} dx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc07357df9c03734cbc8fe5f6db54e9849ba627)