et désigné par
la valeur de
qui répond à
Si l’on remet
à la place de sa valeur sous la fonction
et si l’on observe qu’on a
![{\displaystyle \sin .\theta 'dt'=-{\frac {1}{r_{1}}}{\frac {d\varpi '}{d\theta '}}-{\frac {x-h}{a'r_{1}}}{\frac {d.{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}{d\theta '}}d\theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334a5e003f2ab8be4cff771a5806ccc23f20d43d)
il en résultera
![{\displaystyle \int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '=-{\frac {1}{r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '{\frac {d\varpi '}{d\theta '}}d\theta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad3e269a5a71f5f8108d7e0ac935e45ca8a5077)
![{\displaystyle -{\frac {x-h}{a'r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '{\frac {d.{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}\theta }}}{d\theta '}}d\theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b8f545342c92793a44894a1bcd0d915b6854b3)
Nous supposerons que
est très-grand, nou-seulement à l’égard du rayon
de l’ébranlement primitif, mais encore par rapport à la distance
du point
au-dessous de la surface de séparation des deux fluides ; nous négligerons, en conséquence, le second terme de la formule précédente à raison de son facteur
et, à cause de
nous aurons
![{\displaystyle \int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '=-{\frac {1}{r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\Theta '{\frac {d.\varpi 'f\varpi '}{d\theta '}}d\theta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a37d969156556abcbce2a38b688f2fdfe4fe55)
À la limite
ou
on a
si donc on désigne par
la valeur de
qui répond à
et pour laquelle on a
si l’on fait, en outre,
![{\displaystyle u'={\frac {x-h}{a'}}{\sqrt {a^{2}-a'^{2}\sin .^{2}u}}+r_{1}\pm at,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61efa0451e1d695cb0c2c64a2c91665fc1983a51)
et que l’on intègre par partie, on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{\mu }\Theta '\psi \,\varpi '\sin .\theta 'd\theta '={\frac {1}{r_{1}}}\mathrm {U} 'u'fu'+{\frac {1}{r_{1}}}\int _{0}^{\mu }\varpi 'f\varpi '{\frac {d.\Theta '}{d\theta '}}d\theta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2efb2d423392c7319b15bc77fdb109f2f6ad554)