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ment le signe supérieur et le signe inférieur, puis on fera les sommes des résultats pour avoir les valeurs totales de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '.$ Les limites des intégrales relatives à $x',y',z',$ sont $\pm \infty ,$ et par rapport à $\rho ,\theta ,\omega ,$ celles que l’on vient de déterminer.

Les produits

$fr'e^{{\frac {a'}{a}}(x'+x-2h)\rho \,\delta '\cos .\theta },\qquad fr'e^{{\frac {a'}{a}}(x'-h)\rho \,\delta '\cos .\theta },$

s’évanouissent à la limite pour $\rho =\infty \,:$ car les valeurs de $x'$ pour lesquelles $fr'$ n’est pas nulle, sont, par hypothèse, moindres que $h,$ et d’un autre côté, dans $\mathrm {T}$ où entre le premier produit et qui répond an fluide supérieur, on a aussi $x<h\,;$ d’où il résulte que les coefficients de $\rho$ sont négatifs pour les deux exposants. Cela étant, les deux intégrations relatives à $\rho$ s’effectueront sans difficulté, et, par suite, les expressions de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\iiint \!\!\!\iint &{\frac {a'^{2}\sin .^{2}\theta \cos .\theta }{a^{2}\cos .^{2}\theta -a'^{2}\sin .^{2}\theta }}\\&\times {\frac {fr'd\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'}{\mu -\left({\frac {a'}{a}}x'\delta '+(y'\sin .\omega +z'\cos .\omega ){\sqrt {-1}}\right)\cos .\theta }},\\\mathrm {T} '={\frac {1}{2}}\iiint \!\!\!\iint &{\frac {a'\sin .\theta \cos .\theta \left(a'\sin .\theta -a'\delta '\cos .\theta {\sqrt {-1}}\right)}{a^{2}\cos .^{2}\theta -a'^{2}\sin .^{2}\theta }}\\&\times {\frac {fr'd\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'}{\mu '-\left({\frac {a'}{a}}x'\delta '+(y'\sin .\omega +z'\cos .\omega ){\sqrt {-1}}\right)\cos .\theta }},\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mu \ =&{\frac {a'}{a}}(2h-x)\delta '\cos .\theta +\left[(y\sin .\omega +z\cos .\omega )\cos .\theta +(h-x)\sin .\theta \pm a't\right]{\sqrt {-1}},\\\mu '=&{\frac {a'}{a}}h\delta '\cos .\theta +\left[(y\sin .\omega +z\cos .\omega )\cos .\theta +(h-x)\sin .\theta \pm a't\right]{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$

On prendra successivement le radical ${\sqrt {-1}}$ en plus et en \sqrt{7} moins, puis on fera les sommes des résultats pour avoir les valeurs complètes de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ dans lesquelles ce radical disparaitra.