deux limites
il vient
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-g\rho }\rho r'\sin .\rho r'\sin .\rho \varpi 'f'r'dr'd\rho =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9730a7a9107126988f67830647d27fa910a17f)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(r'+\varpi ')\psi 'r'dr'}{g^{2}+(r'+\varpi ')^{2}}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(r'-\varpi ')\psi 'r'dr'}{g^{2}+(r'-\varpi ')^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dc639e2cfe0659075cef36e60da0e192f86b86)
À la place de
je mets
dans la première de ces deux dernières intégrales, et
dans la seconde ; les limites relatives à la nouvelle variable
seront encore
et si l’on fait la constante
infiniment petite, il en résultera
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }\rho r'\sin .\rho r'\sin .\rho \varpi 'f'r'dr'd\rho ={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\psi '(\zeta -\varpi ')-\psi '(\zeta +\varpi ')}{\zeta }}d\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5385b8b29fbb9142950ed98680e0deeaab34f0)
Nous aurons, par conséquent,
![{\displaystyle \Omega ''=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{b}^{{\frac {1}{2}}\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\psi '(\zeta -\varpi ')-\psi '(\zeta +\varpi ')}{\zeta }}\Theta \sin .\theta d\zeta d\theta d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996678337f367f03ab6c7426a0fb0c41db632185)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \Theta ={\frac {aa'^{3}\sin .\theta \cos .\theta {\sqrt {\cot .^{2}b-\cot .^{2}\theta }}}{4\pi ^{2}\left(a^{2}-a'^{2}\right)\left(a^{2}\sin .^{2}\theta -a'^{2}\cos .^{2}\theta \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec50f7e347b0b77a74e60b38f31a3a67f931ace9)
Or, en remplaçant
et
par les mêmes variables
et
que dans le no 13, et désignant par
la distance du point
au point
situé à la distance
au-dessus de la surface de séparation des deux fluides et dans la même verticale què
cette valeur de
deviendra
![{\displaystyle \Omega ''=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\iint \left[\psi '(\zeta -r_{1}\cos .\theta '\mp at)\right.\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdf24e41b553992f9cc1d8d45534e3ecf29026d)
![{\displaystyle {\Big .}\left.-\psi '(\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at)\right]\Theta \sin .\theta 'd\theta 'd\omega '{\Big )}{\frac {d\zeta }{\zeta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88e7e8e68dc2a277dad24667ae7ef0e38a49826)