pourvu que l’on détermine convenablement les limites relatives à
et
Mais quelles que soient ces limites, que nous fixerons dans le numéro suivant, il nous suffit maintenant d’observer qu’elles répondront à
et
et que, par conséquent, la quantité
y sera égale à zéro. En intégrant par partie, relativement à
on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \psi '&(\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at)\Theta \sin .\theta 'd\theta '\\&={\frac {1}{r_{1}}}\int (\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at)f'(\zeta +r_{1}\cos .\theta '\pm at){\frac {d\Theta }{d\theta '}}d\theta ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccbe38f0ea0e1a71cd4d4a0ab681b4d8eb02e28)
et l’on verra, comme dans le no 13 que cette dernière intégrale peut être négligée, dans le cas des points très-éloignées de
On pourra donc aussi négliger la quantité
ce qu’il s’agissait de démontrer.
Ainsi relativement à ces points, nous aurons seulement à considérer les formules (l), et à leur faire subir des réductions semblables à celles des nos 13 et 14.
(18) À l’égard des deux dernières formules (l), qui répondent aux points du fluide inférieur, nous ferons
![{\displaystyle 2h-x=r'\cos .u,\qquad y=r'\sin .u\sin .v,\qquad z=r'\sin .u\cos .v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d997f522eeea906e526d38f591b2477d1442ee)
et nous aurons
![{\displaystyle \varpi '=r'\left(\cos .\theta \cos .u+\sin .\theta \sin .u\cos .(\omega -v)\right)\pm a't.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ad6122889331bf6ca08478ab55bc78238aef07)
La variable
sera le rayon vecteur d’un point quelconque
de ce fluide, qui aura son origine en un point
du fluide supérieur, situé à la hauteur
au-dessus de la surface de séparation et sur la même verticale que
désignera l’angle compris entre ce rayon
et la verticale
et
l’angle que fait le plan de ces deux droites avec le plan vertical passant par l’axe des
Par le point
faisons passer un plan