Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/699

Telle est l’expression analytique de la latitude réduite $\lambda '\,:$ en y négligeant les termes du second ordre en $\varepsilon ^{2}$ on retombe sur la valeur que nous avions obtenue dans notre premier Mémoire, par un procédé élémentaire, mais moins général que le précédent. Il est inutile d’avertir qu’il faudra recourir à la relation (1) pour avoir la latitude vraie $\mathrm {H} '$ cherchée.

II^e cas. Étant connues la longueur $s$ d’un arc de plus courte distance perpendiculaire au méridien $\mathrm {PM}$ et la différence en longitude $\varphi$ des extrémités de cet arc, trouver les autres parties du triangle sphéroïdique rectangle.

Solution. Le triangle sphérique correspondant au triangle sphéroïdique donné offre cette relation,

$\operatorname {tang} .\omega ={\frac {\operatorname {tang} .\sigma }{\cos .\lambda }}\,;$

ainsi en faisant $\omega =\varphi +\mu$ et $\sigma ={\frac {s}{b}}+\tau ,$ on aura

(5)

$\cos .\lambda =\cot .(\varphi +\mu )\operatorname {tang} .\left({\frac {s}{b}}+\tau \right).$

Supposons maintenant que $\lambda _{0}$ soit la valeur de $\lambda$ lorsque $\mu$ et $\tau$ sont nuls à la fois, alors $\lambda$ sera une fonction des deux variables $\mu$ et $\tau ,$ et par le théorème connu, on aura généralement

$\lambda =\lambda _{0}+\left({\frac {d\lambda }{d\mu }}\right)\mu +\left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)\tau +\ldots$

Nous négligeons ici les termes du second ordre pour simplifier. Différentiant l’équation (5) successivement par rapport à $\mu$ et $\tau ,$ il viendra, après avoir fait nulles ces variables,

$\left({\frac {d\lambda }{d\mu }}\right)={\frac {\operatorname {tang} .{\frac {s}{b}}}{\sin .\lambda _{0}\sin .^{2}\varphi }},\qquad \left({\frac {d\lambda }{d\tau }}\right)=-{\frac {\cot .\varphi }{\sin .\lambda _{0}\cos .^{2}{\frac {s}{b}}}}.$