que de plus
![{\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \cos .\lambda _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884ab5d4bfcbe94179cf62243f2b3df58d1eb77a)
on a par conséquent
![{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \sin .\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed6cd57859cd89e5feec53dc6811f818712538d)
Mais il s’agit, pour calculer
d’avoir
aux termes près du premier ordre : or à cause de
![{\displaystyle \sin .\sigma =\sin .(\varphi +\mu )\cos .\lambda ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e468e5f5ff471bc40f0bed074b039e4a25c76f70)
on a, à ce degré de précision,
![{\displaystyle \sin .\sigma _{0}=\sin .\varphi \cos .\lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e47a5fd4f5a9f7db40aba92ce9f8653e40ee173)
par suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\sin .\lambda _{0}\cos .^{2}\lambda _{0}\operatorname {tang} .\varphi \\\sigma &=\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda _{0}\cos .\lambda '{\frac {\cos .\varphi }{\cos .\sigma _{0}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25375c9f9b22cd41c90b71bfb3a16d4008a93f9)
Maintenant l’on aura l’angle
exactement en substituant ces valeurs approximatives dans la série (B); puis au même degré de précision, la valeur de
se déduira de la relation ci-dessus, qui sert de base à notre solution, et celle de
s’obtiendra en évaluant
enfin la longueur de la ligne géodésique
se tirera de la série (A) dans laquelle
et
seront connus au degré d’exactitude requis.
VIIe cas. Étant données la latitude
du pied de la perpendiculaire et la longitude
de son sommet, trouver les autres parties du triangle.
Solution. Une des relations (3) donnant
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\sigma =\cos .\lambda \operatorname {tang} .(\varphi +\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2aa2fbcc51cb5dc6c15ef9e0e94b1ed8fb603fc)
en faisant, comme dans la solution du deuxième problème,