il est évident que l’on a
![{\displaystyle \sigma =\sigma _{0}+\left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)\mu +{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\sigma }{d\mu ^{2}}}\right)\mu ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b5105213a50b3fbc488597eacca78a0a1aa2c9)
et que la valeur de
se tire de la relation
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\sigma _{0}=\cos .\lambda \operatorname {tang} .\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d792b3e9b0e43a36ad6580cbbc0ae44724aac4)
Mais d’une part
![{\displaystyle \left({\frac {d\sigma }{d\mu }}\right)={\frac {\sin .2\sigma _{0}}{\sin .2\varphi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373ae4bd21aa94695c9915c03b22d3c65d2635ba)
d’autre part
![{\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma \cos .\lambda ={\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2656aa90539f6f9a47e8528305ebe1318b256071)
en négligeant les termes du second ordre ; partant
![{\displaystyle \sigma =\sigma _{0}+{\frac {1}{2}}\varepsilon \sigma _{0}\cos .\lambda {\frac {\sin .2\sigma _{0}}{\sin .2\varphi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e247bb51a573ae6e2b3c6fc29479749a2de3bbc)
Maintenant, si l’on introduit cette valeur dans la série (B), il viendra
![{\displaystyle \omega =\varphi +\left({\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {3}{8}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \right)\sigma _{0}\cos .\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dc8d87944d7381f41997fee508e4f28be21b46)
![{\displaystyle +{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\sigma _{0}\cos .^{2}\lambda {\frac {\sin .2\sigma _{0}}{\sin .2\varphi }}-{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\sin .^{2}\lambda \cos .\lambda \sin .2\sigma _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de864d5fbe80b372e5187feb6cacf7745db9a2a)
Connaissant par ce moyen l’angle au pôle sur la sphère inscrite, on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\lambda '=\operatorname {tang} .\lambda \cos .\omega ,\quad {\text{et}}\quad \sin .\mathrm {V} '={\frac {\cos .\lambda }{\cos .\lambda '}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb58473cfca3cb22a2554e9eed1c8d878dd7060)
puis déterminant
à l’aide de
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\sigma =\cos .\lambda \operatorname {tang} .\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7529ff170b7693a1f3e2c1faaac81c7a666d920)
on pourra enfin évaluer la ligne géodésique par la série (A).
Indépendamment des sept cas précédents, il en est encore