et les relations (2) (3) feront connaître
on sera donc en état d’évaluer le second membre de la série (A’), et par conséquent de conclure la valeur de la ligne géodésique.
IXe cas. Étant donnés les angles azimutaux
et la différence en longitude
résoudre le triangle.
Solution. Adoptons en tout point la notation précédente et faisons
le triangle sur la sphère inscrite donnera
![{\displaystyle \cos .\mathrm {V} '=\cos .\mathrm {V} ''\cos .(\varphi +\mu )-\sin .\mathrm {V} ''\sin .\lambda ''\sin .(\varphi +\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f28619ecf0953e4aef19c0a00e45fcfb99c78159)
ainsi
![{\displaystyle \lambda ''=\mathrm {L} '''+\left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)\mu +\left({\frac {d^{2}\lambda ''}{d\mu ^{2}}}\right)\mu ^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883c78c1d22f008c58981bb5e4afdf0b4b74b7be)
série dans laquelle
désigne la valeur de
correspondante à
Opérant la différenciation dans cette hypothèse, il vient
![{\displaystyle \left({\frac {d\lambda ''}{d\mu }}\right)=\mathrm {\frac {-(\cot .V''+\cot .\varphi \sin .L'')}{\cos .L''}} =\mathrm {M} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f588bc15b287ec90cc6c5e472ec3a77d5210dfd)
et en s’arrêtant aux termes du premier ordre, on a
![{\displaystyle \lambda ''=\mathrm {L''+M} \mu \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decc3c30ff93397c51bc0ca87aa25e1ebd3dfb68)
Bien entendu que
se tirera de
![{\displaystyle \sin .\mathrm {L} ''=\mathrm {\frac {\cos .V''\cos .\varphi -\cos .V'}{\sin .V''\sin .\varphi }} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5689129c612526972a94871565c6591393f7c29)
On sait d’ailleurs que
![{\displaystyle \mathrm {\cos .\lambda =\cos .\lambda ''\sin .V''=\sin .V''\cos .(L''+M\mu )} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e79153dd12a97596c3d6af65a0b59f1fb415f4)
ainsi on aura, en faisant ![{\displaystyle \cos .\lambda _{0}=\mathrm {\sin .V''\cos .L''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d5ebd4016f0dc03d01a032349a696deb55c8dc)
![{\displaystyle \cos .\lambda =\cos .\lambda _{0}-\mathrm {M} \mu \cos .\lambda _{0}\operatorname {tang} .\mathrm {L} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b625452cb5c128c0634aeeef2d9d8ce3b0e18277)