alors cette série deviendrait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ''=&\mathrm {L''+M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\cos .\lambda _{0}\left[{\frac {1}{2}}\varepsilon -{\frac {1}{16}}\varepsilon ^{2}\left(6+\sin .^{2}\lambda _{0}\right)\right]\\&+{\frac {1}{32}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \sin .^{2}\lambda _{0}\cos .\lambda _{0}\left(\sin .2\sigma ''_{0}-\sin .2\sigma '_{0}\right)\\&-{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}\mathrm {M} \left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\operatorname {tang} .\mathrm {L} ''\cot .^{2}\lambda _{0}{\frac {\sin .(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0})}{\cos .\sigma ''_{0}\cos .\sigma '_{0}}}\\&+{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{2}\cos .^{2}\lambda _{0}\left(\sigma ''_{0}-\sigma '_{0}\right)\mathrm {\left[N-2M\operatorname {tang} .L''\right]} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5a0fd370a333aa140f5b1fb7836e663c818efa)
La latitude réduite
étant trouvée, on aura
par cette relation
![{\displaystyle \cos .\lambda '=\cos .\lambda ''\mathrm {\frac {\sin .V''}{\sin .V'}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2531c01b86b18ab8b3fd28004a3ebf5c0eacde86)
Recourant ensuite à celles (2) et (3), on obtiendra
enfin l’on aura
par la série (A’).
Les solutions précédentes dérivent toutes d’une application fort simple du théorème de Maclaurin relatif à une fonction d’une variable ; voici maintenant deux autres problèmes qui se résolvent aussi facilement à l’aide d’une série applicable à une fonction de deux variables, et dont les solutions méritent, ce nous semble, la préférence sur celles que M. Oriani a données d’une manière très-compliquée dans ses éléments cités de trigonométrie sphéroïdique.
Xe cas. Étant donnés l’azimut
la ligne géodésique
et la différence en longitude
trouver les latitudes
et l’autre azimut
Ire solution. D’après la notation précédente
et si en outre on fait
on aura, en vertu de la propriété du triangle sphérique correspondant