NOTE
Sur l’aire d’un triangle sphéroïdique dont les côtés sont des lignes de plus courte distance généralement à double courbure.
Tout triangle
terminé par des lignes de plus courte distance quelconques, se confond sensiblement avec celui qui en représente la projection sur une sphère dont le rayon serait moyen proportionnel entre ceux de plus grande et de plus petite courbure au point dont la latitude
serait la moyenne arithmétique entre les latitudes des trois sommets : alors l’aire
de ce triangle s’évaluera très-simplement par la formule suivante due à M. Lhuilier de Genève,
![{\displaystyle \operatorname {tang} .{\frac {1}{4}}\Sigma ={\sqrt {\operatorname {tang} .{\frac {s}{2}}\operatorname {tang} .\left({\frac {s-\mathrm {A} }{2}}\right)\operatorname {tang} .\left({\frac {s-\mathrm {B} }{2}}\right)\operatorname {tang} .\left({\frac {s-\mathrm {C} }{2}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c158d37c827471603b27e24961874c2cac8518c5)
étant les trois côtés et
désignant leur demi-somme ; puis l’on aura en mesures métriques carrées,
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\pi {\frac {a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{(1-e^{2}sin.^{2}\psi )^{2}}}.{\frac {\Sigma }{100^{\text{g}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc3c52cbb3ee583410501409b6edab655edf884)
l’angle droit étant de
grades ou degrés centésimaux. (Voyez le tom. I de la Géodésie, p. 94 et suivantes).
On pourrait encore obtenir l’aire
du triangle dont il s’agit en menant par les trois sommets
des méri-