Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/763

NOTE

Sur l’aire d’un triangle sphéroïdique dont les côtés sont des lignes de plus courte distance généralement à double courbure.

Tout triangle $\mathrm {M_{1},M_{2},M_{3}}$ terminé par des lignes de plus courte distance quelconques, se confond sensiblement avec celui qui en représente la projection sur une sphère dont le rayon serait moyen proportionnel entre ceux de plus grande et de plus petite courbure au point dont la latitude $\psi$ serait la moyenne arithmétique entre les latitudes des trois sommets : alors l’aire $\Sigma$ de ce triangle s’évaluera très-simplement par la formule suivante due à M. Lhuilier de Genève,

$\operatorname {tang} .{\frac {1}{4}}\Sigma ={\sqrt {\operatorname {tang} .{\frac {s}{2}}\operatorname {tang} .\left({\frac {s-\mathrm {A} }{2}}\right)\operatorname {tang} .\left({\frac {s-\mathrm {B} }{2}}\right)\operatorname {tang} .\left({\frac {s-\mathrm {C} }{2}}\right)}},$

$\mathrm {A,B,C}$ étant les trois côtés et $s$ désignant leur demi-somme ; puis l’on aura en mesures métriques carrées,

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\pi {\frac {a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{(1-e^{2}sin.^{2}\psi )^{2}}}.{\frac {\Sigma }{100^{\text{g}}}},$

l’angle droit étant de $100$ grades ou degrés centésimaux. (Voyez le tom. I de la Géodésie, p. 94 et suivantes).

On pourrait encore obtenir l’aire $\mathrm {T}$ du triangle dont il s’agit en menant par les trois sommets $\mathrm {M_{1},M_{2},M_{3}}$ des méri-