pour la valeur de
Les deux fonctions
et
étant ainsi déterminées, si l’on met la formule (10), à la place de
dans la formule (9), l’expression de
qui en résultera, sera l’intégrale complète de l’équation (8) ; et en substituant cette expression de
dans les équations (6) et (7), on aura les intégrales complètes des équations (4) et (5). Mais avant d’effectuer ces substitutions, nous réduirons à une forme plus simple, l’intégrale contenue dans la formule (9) et dans la valeur précédente de
(4) Considérons
\alpha,\beta,\gamma,
comme les trois coordonnées rectangulaires d’un point quelconque de l’espace ; remplaçons ces trois variables, par les coordonnées polaires du même point ; et faisons, en conséquence,
![{\displaystyle \alpha =\rho \cos .\theta ,\qquad \beta =\rho \sin .\theta \sin .\omega ,\qquad \gamma =\rho \sin .\theta \cos .\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ffd2a49a54790cac3ee54a248ec275624d2abf)
étant son rayon vecteur, et
et
les deux angles qui en déterminent la direction. Nous aurons
![{\displaystyle d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\rho ^{2}\sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d6fd45aa685e7ce7dba2817b0ab00f5566a321)
les intégrales relatives à
s’étendront depuis
jusqu’à
et la formule (9) deviendra
![{\displaystyle \varphi =\varphi '+{\frac {1}{8\pi ^{3}}}\iiint \!\!\!\iiint \psi (x',y',z')\cos .\rho \left[(x-x')\cos .\theta \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f3cec963f8cb02791358699fc1646ab9584c78)
![{\displaystyle \left.+(y-y')\sin .\theta \sin .\omega +(z-z')\sin .\theta \cos .\omega \right]\sin .\theta d\rho \,d\theta \,d\omega \,dx'dy'dz'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e601a6ff6ce5fe19a3fc24772278e7c30de83f)
Mais, d’après des formules connues, si l’on fait
![{\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}=r'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136dd6426a2f2a57fce5b3e47e0b71b8101c5071)
et que l’on regarde
comme positif, on a