Cette intégrale double est relative à tous les points d’une surface sphérique dont l’élément différentiel est
Or, si l’on fait
![{\displaystyle \cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega '-\omega )=\cos \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68924fa915b5839155e5c94e13b000a64d21016)
on pourra considérer
et
comme les trois côtés d’un triangle sphérique dans lequel
est l’angle opposé au côté
en appelant
l’angle opposé à
on pourra substituer les variables
et
à
et
l’élément différentiel de la surface s’exprimera alors par
et l’intégrale devra s’étendre depuis
et
jusqu’à
et
en sorte que l’on aura
![{\displaystyle \zeta =\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {at\sin .\mu \,d\mu d\lambda }{\sqrt {r'^{2}-2r'at\cos .\mu +a^{2}t^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0c22832f23b74742c98da74f632936c2be3669)
Aux deux limites
et
les valeurs du radical
seront
et
et comme ce radical doit être une quantité positive dans toute l’étendue de l’intégration, il faudra prendre, à la première limite,
ou
pour sa valeur, selon qu’on aura
ou
et dans les deux cas,
à la seconde limite. Cela étant, on aura
![{\displaystyle \zeta ={\frac {2\pi }{r'}}\left[(r'+at)-(r'-at)\right]={\frac {4\pi at}{r'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2a77abf187a8c2c966ea6f85e9c7c133c30b39)
dans le cas de
et
![{\displaystyle \zeta ={\frac {2\pi }{r'}}\left[(r'+at)-(at-r')\right]=4\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3317fc836e559af7fb11633355b3bfc498eb7b7e)
dans le cas de ![{\displaystyle r'<at.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e5e433b2cb9dec33f5ce20e95c886966e438be)
En comparant la seconde formule (11) et la formule (12),