Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/792

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

Cette intégrale double est relative à tous les points d’une surface sphérique dont l’élément différentiel est $\sin .\theta \,d\theta \,d\omega .$ Or, si l’on fait

\cos .\theta \cos .\theta '+\sin .\theta \sin .\theta '\cos .(\omega '-\omega )=\cos \mu ,

on pourra considérer $\theta ,\theta '$ et $\mu ,$ comme les trois côtés d’un triangle sphérique dans lequel $\omega '-\omega$ est l’angle opposé au côté $\mu \,;$ en appelant $\lambda$ l’angle opposé à $\theta ',$ on pourra substituer les variables $\mu$ et $\lambda$ à $\theta$ et $\omega \,;$ l’élément différentiel de la surface s’exprimera alors par $\sin .\mu \,d\mu \,d\lambda \,;$ et l’intégrale devra s’étendre depuis $\mu =0$ et $\lambda =0$ jusqu’à $\mu =0$ et $\lambda =2\pi ,$ en sorte que l’on aura

\zeta =\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {at\sin .\mu \,d\mu d\lambda }{\sqrt {r'^{2}-2r'at\cos .\mu +a^{2}t^{2}}}}.

Aux deux limites $\mu =0$ et $\mu =\pi ,$ les valeurs du radical ${\sqrt {r'^{2}-2r'at\cos .\mu +a^{2}t^{2}}}$ seront $\pm (r'-at)$ et $\pm (r'+at)\,;$ et comme ce radical doit être une quantité positive dans toute l’étendue de l’intégration, il faudra prendre, à la première limite, $r'-at$ ou $at-r',$ pour sa valeur, selon qu’on aura $at<r'$ ou $at>r',$ et dans les deux cas, $r'+at$ à la seconde limite. Cela étant, on aura