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on en conclura

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\Pi \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.$

$\left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)at\sin .\theta \,d\theta \,d\omega$

$=-\iiint \psi (x',y',z'){\frac {atdx'dy'dz'}{r'}},\ \ {\text{ou}}\ \ =-\iiint \psi (x',y',z')dx'dy'dz',$

et, par conséquent

${\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\Pi \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.$

$\left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega$

$=-\iiint \psi (x',y',z'){\frac {dx'dy'dz'}{r'}},\quad {\text{ou}}\quad =0,$

selon qu’on aura $at<r',$ ou $at>r'.$ Mais, d’après les équations (13), si l’on substitue $r',\theta ',\omega ',$ à $x',y',z',$ dans l’intégration relative à ces dernières variables, on aura

$dx'dy'dz'=r'^{2}\sin .\theta 'dr'd\theta 'd\omega '\,;$

les limites relatives à $x',y',z',$ étant $\pm \infty ,$ celles qui répondent à $r',\theta ',\omega ',$ seront $r'=0,$ $\theta '=0,$ $\omega '=0,$ et $r'=\infty ,$ $\theta '=\pi ,$ $\omega '=2\pi \,;$ on aura donc

$\iiint \psi (x',y',z'){\frac {dx'dy'dz'}{r'}}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\psi \left(x+r'\cos .\theta ',\right.$

$\left.y+r'\sin .\theta '\sin .\omega ',z+r'\sin .\theta '\cos .\omega '\right)r'\sin .\theta 'dr'd\theta 'd\omega ',$

et, par conséquent,

${\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\Pi \left(x+at\cos .\theta ,y+at\sin .\theta \sin .\omega ,\right.$

$\left.z+at\sin .\theta \cos .\omega \right)t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega$

$=-\int _{at}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\psi \left(x+r'\cos .\theta ',y+r'\sin .\theta '\sin .\omega ',\right.\qquad$

$\left.z+r'\sin .\theta '\cos .\omega '\right)r'\sin .\theta 'dr'd\theta 'd\omega '.$