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${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\varpi }{d\rho ^{2}}}-2{\frac {d^{2}\varpi }{d\rho d\theta }}&{\frac {\sin .\theta \cos .\theta }{\rho }}+{\frac {d^{2}\varpi }{d\theta ^{2}}}{\frac {\sin .^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\\&+2{\frac {d\varpi }{d\theta }}{\frac {\sin .\theta \cos .\theta }{\rho }}+{\frac {d\varpi }{d\rho }}{\frac {\sin .^{2}\theta }{\rho }}.\end{aligned}}$

Par des combinaisons analogues, on obtiendra les valeurs de ${\frac {d^{2}\varpi }{dy^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}\varpi }{dz^{2}}}$ en différences partielles relatives à $\rho ,\theta ,\omega .$ En les ajoutant ensuite à la valeur de ${\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}},$ on trouve, toutes réductions faites,

${\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dz^{2}}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {d^{2}.\rho \varpi }{d\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin .\theta }}{\frac {d.{\frac {d\varpi }{d\theta }}\sin .\theta }{d\theta }}+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin .^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\varpi }{d\omega ^{2}}}.$

On conclut delà

$\int _{0}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varpi }{dz^{2}}}\right)\rho \sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega$

$=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{at}{\frac {d^{2}.\rho \varpi }{d\rho ^{2}}}d\rho \right)\sin .\theta \,d\theta \,d\omega$

$+\int _{0}^{at}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\pi }{\frac {d.{\frac {d\varpi }{d\theta }}\sin .\theta }{d\theta }}d\theta \right){\frac {d\rho \,d\omega }{\rho }}+\int _{0}^{at}\int _{0}^{\pi }\left(\int _{0}^{2\pi }{\frac {d^{2}\varpi }{d\omega ^{2}}}d\omega \right){\frac {d\rho \,d\theta }{\rho \sin .\theta }}.$

On a évidemment

$\int _{0}^{at}{\frac {d^{2}.\rho \varpi }{d\rho ^{2}}}d\rho ={\frac {d.at\varpi '}{ad\,t}}-f(x,y,z),$

en désignant par $\varpi '$ la valeur de $\varpi$ qui répond à $\rho =at,$ et observant que $f(x,y,z)$ est la valeur de $\varpi$ qui a lieu quand $t=0.$ On a aussi

$\int _{0}^{\pi }{\frac {d.{\frac {d\varpi }{d\theta }}\sin .\theta }{d\theta }}d\theta =0,$