Supposons que l’ébranlement primitif du fluide a été circonscrit dans une sphère décrite de l’origine des coordonnées comme centre et d’un rayon donné que nous représenterons par
ou, autrement dit, supposons que les vitesses et les dilatations initiales, et, par conséquent, les fonctions
étaient nulles, quels que soient
et
pour toutes les valeurs de
plus grandes que
Les fonctions
et
qui entrent dans la formule (19), seront donc aussi nulles, lorsqu’on aura
Or, en mettant
et
à la place de
et
dans les équations (17), on en déduit
![{\displaystyle r_{1}^{2}=r^{2}+2rat\left[\cos .\mu \cos .\theta +\sin .\mu \sin .\theta \cos .(\omega -\lambda )\right]+a^{2}t^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2649ae7b32b22789acd91730077a9f1edd96c733)
et si l’on fait
![{\displaystyle \cos .\mu \cos .\theta +\sin .\mu \sin .\theta \cos .(\omega -\lambda )=\cos .2m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c7d9232928d4c4a65af334109d1f608c5d74ae)
il en résultera
![{\displaystyle r_{1}^{2}=(r-at)^{2}+4rat\cos .^{2}m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474179d015206e41ee5e659b70b9c2c134600313)
ce qui montre qu’on a
toutes les fois que
est
ou
On aura donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})=0,\qquad f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b426f28186ea7ad00c53045f3e3ba093ebd7fb)
et par suite
pour toutes ces valeurs de
Mais, dans le cas auquel répond la formule (19), on a, à un instant quelconque,
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(20)
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ces trois vitesses et cette dilatation seront donc nulles, lorsque
tombera hors des limites
par conséquent, dans le